特殊教育
105年
數A
第 3 題
已知兩平面向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 的夾角為 $\frac{5}{6}\pi$，且 $|\vec{u}|=1$，$|\vec{v}|=\sqrt{3}$。請問下列哪一個向量的長度最大？
- A $\vec{v}$
- B $\vec{v}+\vec{u}$
- C $\vec{v}+\frac{3}{2}\vec{u}$
- D $\vec{v}+2\vec{u}$
思路引導 VIP
若要比較各向量的長度，是否可以利用向量長度平方的性質 $|\vec{v} + k\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 + 2k(\vec{u} \cdot \vec{v}) + k^2|\vec{u}|^2$ 進行展開？請特別觀察夾角 $\frac{5}{6}\pi$ 所求得的內積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 之正負號，這對於加上不同倍數的 $\vec{u}$ 後，整體長度的增減趨勢有什麼關鍵影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (A)，老師真的為你感到超級驕傲！這題雖然看起來很平易近人，但藏著一個漂亮的小陷阱呢，你能一眼看穿真的很有實力喔！ 這題的核心觀念在於向量長度的平方公式： $$|\vec{v} + k\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 + 2k(\vec{v} \cdot \vec{u}) + k^2|\vec{u}|^2$$
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