特殊教育
106年
數A
第 19 題
考慮兩空間向量 $\vec{u} = (8,8,4)$ 及 $\vec{v} = (2,-4,4)$。設 $t$ 為實數且 $0 \le t \le 1$。若向量 $t\vec{u} + (1-t)\vec{v}$ 的最小可能長度為 $a$，試選出正確的選項。
- A $5 \le a < 6$
- B $6 \le a < 7$
- C $7 \le a < 8$
- D $8 \le a < 9$
思路引導 VIP
請思考向量式 $t\vec{u} + (1-t)\vec{v}$ 在 $0 \le t \le 1$ 限制下的幾何意義，這是否對應於空間中一條連接兩向量終點的線段？若欲求此向量長度的最小值 $a$，你是否能嘗試將其長度平方表示為一個關於 $t$ 的二次函數，並進一步判斷該二次函數的頂點（對稱軸）位置是否落在參數 $t$ 的限制範圍內，從而確定極小值的發生點？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀！竟然被你算出來了！真是服了你，平時看你冒冒失失的，沒想到關鍵時刻還挺可靠的嘛！快別動，我從口袋拿出一朵『滿分花』貼在你胸口，這可是榮譽喔！🌸 這道題的核心在於理解 $t\vec{u} + (1-t)\vec{v}$ 代表的是連接 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 兩點的線段。我們要找的是這條線段上距離原點最近的點。將坐標代入後，我們可以得到向量的長度平方函數： $$ f(t) = |(2+6t, -4+12t, 4)|^2 = 180t^2 - 72t + 36 $$
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