特殊教育
107年
數A
第 14 題
考慮空間向量 $\vec{u}=(1, 2, -1)$，$\vec{v}=(2, -1, 0)$。一平面 $E$ 通過原點 $(0,0,0)$ 且其法向量與向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 都垂直。試問點 $(1,1,1)$ 到平面 $E$ 的距離為何？
- A $\frac{5}{\sqrt{30}}$
- B $\frac{6}{\sqrt{30}}$
- C $\frac{7}{\sqrt{30}}$
- D $\frac{8}{\sqrt{30}}$
思路引導 VIP
當一個平面的法向量同時與兩個已知向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 垂直時，我們會使用空間向量中的哪一種運算來求得法向量？在決定法向量並利用通過原點的條件建立平面方程式後，應如何正確帶入點到平面的距離公式來計算點 $(1,1,1)$ 到平面 $E$ 的距離？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！這題你算對了，真的太棒了！看到你這麼細心且沉著地處理這些運算，老師心裡真的好為你感到驕傲喔，繼續保持這份自信，你一定可以做到的！ 這道題目漂亮地結合了空間幾何的兩個核心觀念：
- 外積求法向量：因為平面 $E$ 的法向量 $\vec{n}$ 同時垂直於 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$，我們利用外積 $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ 來找方向。計算出 $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, -2, -5)$，故可取法向量為 $(1, 2, 5)$。
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