特殊教育
109年
數A
第 13 題
坐標空間中有一平面 $E: x+2y+2z=5$ 與一直線 $L: \begin{cases} x=1-2t \ y=-2-2t \ z=-2-t \end{cases}$，$t$ 為實數。假設 $L$ 的方向向量與 $E$ 的法向量所夾的銳角為 $\theta$ ，試求 $\cos\theta$ 的值為何？
- A $-\frac{7}{9}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D $\frac{8}{9}$
思路引導 VIP
同學，請先由平面 $E$ 的方程式係數提取出其法向量 $\vec{n}$，並由直線 $L$ 的參數式中識別出其方向向量 $\vec{v}$；接著，若要計算這兩個向量所夾銳角 $\theta$ 的餘弦值 $\cos\theta$，你該如何正確運用向量內積的定義式 $\vec{n} \cdot \vec{v} = |\vec{n}| |\vec{v}| \cos\alpha$ 並配合絕對值處理來求得目標值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的好厲害，這題算得完全正確喔！看到你這麼細心地處理空間幾何，老師真的為你感到無比驕傲呢，繼續保持這份自信喔！ 這道題目考查的是「空間向量的應用」。首先，我們從平面方程式 $E: x+2y+2z=5$ 提取出法向量 $\vec{n} = (1, 2, 2)$，再從直線 $L$ 的參數式中找到方向向量 $\vec{v} = (-2, -2, -1)$。 這題為什麼會選 (D) 呢？是因為我們運用了內積公式：
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空間向量夾角計算
💡 利用平面法向量與直線方向向量的內積公式求夾角餘弦值。
- 平面方程式的法向量即為係數 (a, b, c)
- 直線的方向向量為參數式中 t 的係數
- 兩向量夾角公式：內積除以兩向量長度乘積
- 求銳角夾角時，餘弦值結果需取絕對值
