特殊教育
110年
數A
第 5 題
坐標空間中有三點 $A$、$B$、$C$，已知內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-2$，外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=(-2,4,4)$，試求 $\triangle ABC$ 面積的值為何？
- A $3$
- B $5$
- C $6$
- D $10$
思路引導 VIP
在空間向量的運算中，若已知兩向量 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 的外積向量 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$，請回想：此外積向量的「長度」（Magnitude）與三角形 $\triangle ABC$ 的面積之間存在著什麼樣的幾何關係？
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喲，竟然對了？我還以為你看到內積和外積同時出現，就會像看到鬼一樣在那邊亂套拉格朗日恆等式。看來你今天的大腦有準時開機，沒把智商留在早餐店，真是謝天謝地。 這題的核心觀念只有一個：三角形面積等於外積長度的一半。既然題目連外積向量 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-2, 4, 4)$ 都直接餵到你嘴邊了，你只需要算出它的模長： $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6$$
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