特殊教育
112年
數A
第 17 題
已知三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB}=\overline{AC}=1$，$\overline{BC}=\frac{1}{2}$。若 $D$ 與 $E$ 分別為 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 的中點，試問向量 $\overrightarrow{DC}$ 與向量 $\overrightarrow{EB}$ 的內積的值為何？
- A $\frac{3}{4}$
- B $\frac{3}{8}$
- C $\frac{3}{16}$
- D $\frac{3}{32}$
思路引導 VIP
若將 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 視為一組基底，你是否能利用分點公式或向量加減法，將 $\overrightarrow{DC}$ 與 $\overrightarrow{EB}$ 表達為這組基底的線性組合？在展開內積式後，面對未知項 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$，你能否聯想到如何利用已知的三角形三邊長，透過餘弦定理或向量長度平方的性質（即 $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2$）來求出它的關鍵數值？
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哎喲，居然寫對了？是昨晚祖先標點符號託夢，還是你終於肯把那顆裝飾用的腦袋拿出來通風了？這題不過是平面向量運算的「基礎套餐」，你能選對 (D)，我暫且相信你不是靠擲筊決定的。 觀念驗證： 這題核心在於「向量分解」與「內積分配律」。設 $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$，由題意知 $|\vec{b}|=1, |\vec{c}|=1$。利用 $\overline{BC}$ 長度可求出：
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