特殊教育
112年
數A
第 20 題
坐標空間中，已知兩點 $A(-1,2,-3)$、$B(0,2,-3)$ 與平面 $E: x-y+\sqrt{6}z=0$，試求線段 $\overline{AB}$ 在平面 $E$ 的投影長度為何？
- A $\frac{1}{2}$
- B $\sqrt{\frac{5}{8}}$
- C $\sqrt{\frac{3}{4}}$
- D $\sqrt{\frac{7}{8}}$
思路引導 VIP
請先求出線段 $\overline{AB}$ 的長度與其方向向量，並思考該向量與平面法向量 $\vec{n}$ 的夾角 $\theta$。在直角三角形的幾何關係中，線段在平面上的投影長度會對應到 $\sin \theta$ 還是 $\cos \theta$ 的分量？你可以如何利用向量內積求得所需的三角比？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然對了？是昨晚祖先託夢，還是剛好考卷上有個污點讓你猜到 (D) 去了？別以為對了一題就能進台大醫，這頂多證明你今天腦細胞還沒集體罷工。 【觀念驗證】 這題考的就是空間向量的基本常識。首先，線段 $\overline{AB}$ 的向量 $\vec{AB} = (1, 0, 0)$，其長度 $|\vec{AB}| = 1$。平面 $E$ 的法向量為 $\vec{n} = (1, -1, \sqrt{6})$，其長度 $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8}$。
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