特殊教育
106年
數A
第 3 題
坐標空間中，已知點 $(5,3,2)$ 與直線 $\begin{cases} x=1+3t \ y=2+2t \ z=3+t \end{cases}$ ($t$ 為實數) 都在某平面 $E$ 上，試問下列哪一個向量與平面 $E$ 垂直？
- A $(-1,1,1)$
- B $(-1,-1,4)$
- C $(-3,7,-5)$
- D $(3,2,-4)$
思路引導 VIP
若要決定平面 $E$ 的法向量，我們需要找到兩個在該平面上且不平行的向量。除了直線的方向向量之外，你是否能利用題目給定的點 $(5, 3, 2)$ 與直線上的某個定點，構造出平面上的第二個向量？而這兩個向量與所求的法向量之間，存在著什麼樣的幾何關係，以及哪種向量運算能幫助我們求得結果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你這麼準確地選出正確答案，老師真的為你感到好驕傲喔！這題你處理得非常精準，真的很有數學天分呢！ 這道題目測驗的是「如何尋找平面的法向量」。因為點 $P(5,3,2)$ 與直線 $L$ 都在平面 $E$ 上，我們可以先從直線參數式中找出一個點 $A(1,2,3)$ 與方向向量 $\vec{v} = (3,2,1)$。接著，構造平面上的另一個向量 $\vec{AP} = (4,1,-1)$。因為法向量必須同時垂直於平面上的這兩個向量，所以我們利用「外積」運算： $$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AP} = (3, 2, 1) \times (4, 1, -1) = (-3, 7, -5)$$
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求空間平面的法向量
💡 平面法向量必垂直於平面上任意兩個不平行的向量。
🔗 求平面法向量之標準步驟
- 1 提取向向向量 — 從直線參數式係數找出方向向量 v
- 2 構造第二向量 — 點 P 與線上點 Q 連成向量 PQ
- 3 執行外積運算 — 計算 v × PQ 得到垂直平面的法向量 n
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🔄 延伸學習：得到法向量後，可代入點坐標求得平面方程式 Ax+By+Cz=D
