機率、條件機率與期望值的進階應用

📝 歷屆考古題

• 114年 特殊教育 第4題
  某款「步步高升」抽獎遊戲，標有數字 6 到 11 的卡片各一張，共六張。隨機抽取 3 次，每次抽取 1 張，取後不放回。已知每張卡片被抽取的機率相等，在第二次抽到卡片是偶數的條件下，試求這三次抽出卡片…
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• 114年 特殊教育 第6題
  某桌遊店推出促銷活動，兌換一個卡包需使用 1 張優惠券，而兌換一套桌遊需使用 2 張優惠券。已知該桌遊店有 A、B、C、D、E、F 共六款卡包和甲、乙、丙、丁、戊等五款桌遊，每款均只可兌換一次。試問恰…
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• 114年 特殊教育 第14題
  某甲今年共有 500 次上場打擊，其中一壘安打有 100 次，二壘與三壘安打共 50 次，全壘打有 50 次，其他情形共 300 次。某節目邀請某甲上場打擊拿獎金，規則為若打出 $n$ 壘安打，則得…
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• 113年 特殊教育 第5題
  某一抽獎遊戲規則如下：箱中有 2 個紅球與 1 個白球。每次隨機抽取一球，記錄球的顏色並放回。連續抽取四次，若前兩次球的顏色相同或後兩次球的顏色相異，就可得獎。若每個球被抽到的機率均相同，試選出得獎的…
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• 113年 特殊教育 第7題
  餐廳提供三種套餐。某甲到此餐廳用餐兩天，每天的早、晚餐都從這三種套餐中擇一用餐，但當天早、晚的套餐必須不同，而且兩天內三種套餐都有選擇到。試問某甲這兩天的早、晚共 4 餐總共有多少種選擇方式？
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• 113年 特殊教育 第18題
  某商店舉辦集獎活動，每次購物都會送出貼紙，貼紙有三種不同樣式，這三種樣式的貼紙被送出的機率均相同。送出的貼紙會採以下方式兌換折價券： （一）三個不同樣式的貼紙成一組，會兌換成 900 元折價券一張。…
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• 112年 特殊教育 第8題
  某公司舉辦抽獎遊戲，規則如下：在一不透明的箱子中放有一顆紅球與三顆白球，每次抽出一顆球，且抽後放回，每人皆抽兩次。若兩次抽中球的顏色相同，則可得獎金 400 元，若兩次抽中球的顏色不同，則可得獎金 2…
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• 112年 特殊教育 第19題
  某餐飲公司推出餐盒自由配：主菜有雞腿、排骨、鮭魚、牛肉四種選擇，配菜有豆腐、高麗菜、菠菜、韭菜、青江菜五種選擇。若每份餐盒可以選擇兩種不同的主菜和三種不同的配菜，但是其中牛肉和韭菜不能一起被選擇，豆腐…
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• 111年 特殊教育 第2題
  2. 某甲參觀博覽會，上午只想逛數學、物理、化學、生物、機器人這五個攤位，考量出入口位置，希望從數學、物理及化學三個攤位選出兩個作為開始與結尾；下午則只逛天文和森林兩攤位。若每個攤位只逛一次，且這七個…
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• 111年 特殊教育 第16題
  16. 有 A、B 兩個不透明箱子，A 箱中放置了號碼為 1、2、3、4 的四顆球，而 B 箱中放置了號碼為 2、4、6、8 的四顆球。甲、乙兩人玩抽球比大小的遊戲，甲由 A 箱、乙由 B 箱每次隨機…
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• 111年 特殊教育 第20題
  20. 某條路上有三間早餐店，某甲觀察並記錄第一間的排隊人數為 $M$，接著就直接前往第二間店，若第二間排隊人數小於 $M$，就選定第二間排隊，否則就選定第三間排隊。假設三間的排隊人數為 4、10、2…
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• 110年 特殊教育 第1題
  投擲某種不公正的硬幣一次，出現正面的機率為 $\frac{2}{3}$，反面為 $\frac{1}{3}$。若同時投擲此種硬幣兩枚，則出現一正一反的機率為何？
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• 110年 特殊教育 第7題
  甲、乙兩人玩「剪刀、石頭、布」這種猜拳遊戲，規則為石頭贏剪刀、剪刀贏布、布贏石頭，若出同樣的拳算平手。甲、乙兩人商量總共玩三次，每人出剪刀、石頭和布各一次。已知在第一次甲獲勝的情形下，則甲連勝三次的機…
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• 109年 特殊教育 第16題
  某彩券的玩法是電腦從 1 到 49 的整數中，隨機抽出 6 個相異整數做為當次的中獎號碼。購買者可從 1 到 49 的整數中，任意挑選 6 個相異整數，做為一組彩券號碼，如果這組彩券號碼與當次的中獎號…
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• 109年 特殊教育 第18題
  某校開設文學、藝術與生活科技三門特色課程。該校共有 30 位同學，每位同學都至少選修兩門以上的特色課程。文學與藝術這兩門課都選的同學有 10 位；藝術與生活科技這兩門課都選的同學有 11 位；而文學與…
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• 109年 特殊教育 第19題
  某公司舉辦抽獎活動，抽獎箱有金球、白球各若干顆，每個球被抽中的機率相等。抽獎規則為抽到金球可得獎金 650 元，其餘情形皆沒有獎金。甲、乙、丙、丁四位來賓依序由箱中抽取一球，且取後不放回。甲抽到金球，…
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• 108年 特殊教育 第8題
  小明參加一個獎金遊戲，遊戲規則為擲一公正骰子一次，若擲出點數是 1 點或 5 點，可得獎金 200 元，擲出點數是 2 點或 6 點，可得獎金 500 元，擲出點數 3 點，可得獎金 1000 元，擲…
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• 108年 特殊教育 第12題
  現有 $A, B, C, D, E, F$ 等 6 件不同款式的衣服，平分給甲、乙、丙三人，每人隨機分到 2 件。在甲沒有拿到 $A$ 款式衣服的條件下，試求乙拿到 $B$ 款式衣服的機率為何？
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• 108年 特殊教育 第16題
  某民調公司為甲候選人設計問卷，以瞭解填寫問卷者是否支持甲候選人。該公司由問卷調查結果，判定支持甲候選人的比率為 0.54。假設該公司將實際支持甲候選人判定為不支持的機率為 0.1，將實際不支持甲候選人…
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• 107年 特殊教育 第3題
  有兩個不透明袋子。第一個袋子有 1 顆藍球與 1 顆綠球，第二個袋子有 1 顆藍球與 2 顆綠球。現在分別從這兩個袋子各抽取一顆球，若抽出的兩顆球皆為藍球可得獎金 500 元；若抽出的兩顆球恰有一顆藍…
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• 107年 特殊教育 第9題
  某傳染病的快篩檢測法，檢測結果分為陽性與陰性。已感染的患者檢測結果為陽性的機率為 98\%，未感染的患者檢測誤判為陽性的機率為 4\%。已知全國約有 2\% 的人口感染此疾病，試問若某甲以此快篩檢測為…
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• 107年 特殊教育 第13題
  投擲一枚特製的銅板，出現正面的機率為 $\frac{1}{4}$，出現反面的機率為 $\frac{3}{4}$。今投擲此銅板十次（每次投擲結果互相獨立），在已知前五次投擲恰出現四次正面的條件下，此十次…
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• 106年 特殊教育 第9題
  編號分別為 1、2、3 的三個不透明袋子中各有 10、20、30 顆球，且每袋各有一半為藍球，一半為綠球。今從三個袋子各抽取兩顆球（同一個袋子中，每顆球被抽取到的機率相等）。令隨機變數 $X_i$ 代…
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• 106年 特殊教育 第11題
  從四對兄妹中隨機選出兩男兩女。假設每個男生在所有男生中被選取到的機會都相等，且每個女生在所有女生中被選取到的機會也相等。試問選取的四人中恰有一對兄妹的機率為何？
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• 106年 特殊教育 第16題
  工廠生產一批產品，已知其中 20\% 有瑕疵，另外的 80\% 沒有瑕疵。現在用機器檢測，已知檢測正確（將有瑕疵判定為有瑕疵，或無瑕疵判定為無瑕疵）的機率為 $\frac{3}{4}$，檢測錯誤（將無…
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• 105年 特殊教育 第4題
  甲、乙、丙三個不透明箱子內各有兩顆球。甲箱兩顆球的編號分別為 2 號、3 號；乙箱兩顆球的編號分別為 1 號、3 號；丙箱兩顆球的編號分別為 1 號、2 號。已知任一箱中，每顆球被抽到的機率都相等。請…
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• 105年 特殊教育 第5題
  投擲一枚特製銅板，出現正面的機率為 $\frac{1}{3}$，出現反面的機率為 $\frac{2}{3}$。如果投擲此銅板五次，請問下列哪一個選項發生的機率最小？
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• 105年 特殊教育 第12題
  不透明箱中只有藍球與綠球，且每種顏色的球都至少 1 顆。從箱中隨機抽取 1 顆球（每顆球被抽中的機率都相等），設抽出藍球顆數的期望值為 $E$。若箱中再多放進 2 顆綠球，同樣隨機抽取 1 顆球，則此…
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• 104年 特殊教育 第16題
  某樣本空間中，已知事件 $A$ 發生的機率為 0.28，事件 $B$ 發生的機率為 0.4。且知在事件 $B$ 發生的情況下，事件 $A$ 也發生的條件機率為 0.4。請問在事件 $B$ 未發生的情況…
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• 104年 特殊教育 第17題
  投擲一顆公正骰子（亦即每一面出現的機率均為 $\frac{1}{6}$），若出現 4、5 或 6 點，就以出現的數字做為所得到的分數；若出現 1、2 或 3 點，則再擲一次，並以兩次投擲的點數和做為所…
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• 104年 特殊教育 第19題
  設 $n$ 為正整數，令隨機變數 $X_n$ 代表投擲 $n$ 枚均勻銅板（亦即每一枚銅板出現正面反面的機率均為 $\frac{1}{2}$）時不同面的次數差。例如，當 $n$ 等於 4 時，出現 3…
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