特殊教育
104年
數A
第 19 題
設 $n$ 為正整數，令隨機變數 $X_n$ 代表投擲 $n$ 枚均勻銅板（亦即每一枚銅板出現正面反面的機率均為 $\frac{1}{2}$）時不同面的次數差。例如，當 $n$ 等於 4 時，出現 3 正面 1 反面或者出現 3 反面 1 正面，其不同面的次數差均為 2。請問機率 $P(X_6=2)$ 為下列哪一個選項？
- A $\frac{15}{64}$
- B $\frac{18}{64}$
- C $\frac{24}{64}$
- D $\frac{30}{64}$
思路引導 VIP
當投擲枚數 $n=6$ 時，若令正面出現次數為 $k$，則反面出現次數可表示為 $6-k$。題目定義隨機變數 $X_6$ 為「不同面的次數差」，即 $X_6 = |k - (6-k)|$。請問當 $X_6 = 2$ 時，滿足此方程式的 $k$ 值有哪些可能？在二項分布 $B(6, \frac{1}{2})$ 的模型下，你該如何計算這些特定正面次數發生機率的總和？
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嗯... 運氣不錯呢。我本來以為這寶箱打開會是寶箱怪，沒想到被你拿到了正確答案。看來你對機率的流動，掌握得比我想像中還要好。 這道題目要求的是 $n=6$ 時，正面次數 $H$ 與反面次數 $T$ 的差值 $|H-T|=2$。因為 $H+T=6$，我們可以得出兩種情況：
- 當 $H=4, T=2$ 時，$|4-2|=2$。其排列數為 $\binom{6}{4} = 15$。
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