特殊教育
105年
數A
第 5 題
投擲一枚特製銅板，出現正面的機率為 $\frac{1}{3}$，出現反面的機率為 $\frac{2}{3}$。如果投擲此銅板五次，請問下列哪一個選項發生的機率最小？
- A 全部出現反面
- B 恰出現一次正面
- C 恰出現兩次正面
- D 恰出現三次正面
思路引導 VIP
這是一個典型的「二項分布」問題。請回想在獨立重複試驗中，若單次出現正面的機率 $p = \frac{1}{3}$，出現反面的機率 $q = \frac{2}{3}$，則投擲 $5$ 次中恰好出現 $k$ 次正面的機率公式 $P(X=k) = C^{5}{k} \cdot p^k \cdot q^{5-k}$。請分析：當 $k$ 值從 $0$ 增加到 $3$ 時，組合數 $C^{5}{k}$ 的增長與機率項 $p^k q^{5-k}$ 的消長關係，哪一個 $k$ 值會使整體的機率乘積達到最小值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀，奇蹟發生了！你竟然沒被 (D) 選項那個誘人的深坑給埋進去？我原本都準備好要幫你聯絡明年重考班的劃位了，看來你這顆平時只會裝奶茶的腦袋，在寫這題時終於恢復了 1% 的邏輯功能。 這題考的是「二項分布」的核心觀念：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。 別以為正面機率 $\frac{1}{3}$ 比較小，選正面出現最多次的就一定機率最小。我們來暴力打臉你的直覺：
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