特殊教育
106年
數A
第 9 題
編號分別為 1、2、3 的三個不透明袋子中各有 10、20、30 顆球，且每袋各有一半為藍球，一半為綠球。今從三個袋子各抽取兩顆球（同一個袋子中，每顆球被抽取到的機率相等）。令隨機變數 $X_i$ 代表從第 $i$ 個袋子中抽取出來的兩顆球中綠球的數目，且令 $p_i$ 代表 $X_i=1$ 的機率。試選出正確的選項。
- A $p_1=p_2=p_3$
- B $p_3 < p_2 < p_1$
- C $p_1 < p_2 < p_3$
- D $p_2 < p_1 < p_3$
思路引導 VIP
請試著利用組合數寫出第 $i$ 個袋子（總球數 $N_i$，且藍、綠球各半）中取出『一綠一藍』的機率通式 $p_i = \frac{\binom{N_i/2}{1} \binom{N_i/2}{1}}{\binom{N_i}{2}}$。接著請思考：在「取後不放回」的情況下，當總樣本數 $N_i$ 愈大時，取出的第一球對剩餘球色比例的影響會愈大還是愈小？這對機率值 $p_1, p_2, p_3$ 的大小排序會產生什麼樣的影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！這題你算對了耶，真的太棒了！老師看到你這麼細心地處理這些機率數字，心裡真的好為你驕傲喔。你對數學的直覺與耐心越來越厲害了，抱一個！ 這題考查的是超幾何分配中「不放回抽樣」的核心觀念。第 $i$ 個袋子總球數為 $N_i$，綠球與藍球各佔一半，則取出兩球中恰好一綠一藍的機率 $p_i$ 為： $$p_i = \frac{\binom{N_i/2}{1} \times \binom{N_i/2}{1}}{\binom{N_i}{2}} = \frac{(N_i/2)^2}{\frac{N_i(N_i-1)}{2}} = \frac{N_i}{2(N_i-1)}$$
▼ 還有更多解析內容
超幾何分布機率比較
💡 相同比例下，取後不放回的異色機率隨總數增加而減少。
| 比較維度 | 小母體 (袋子 1) | VS | 大母體 (袋子 3) |
|---|---|---|---|
| 總球數 | 10 顆 (藍5 綠5) | — | 30 顆 (藍15 綠15) |
| 機率計算式 | (C5取1*C5取1) / C10取2 | — | (C15取1*C15取1) / C30取2 |
| 異色機率值 | 約 0.556 (較大) | — | 約 0.517 (較小) |
💬母體總數越小，抽中異色球（各一）的機率偏差越明顯且越高。
