特殊教育
112年
數A
第 6 題
從 2 到 21 的 20 個整數中，依序隨機挑選兩個相異數字 $a$、$b$。假設每組數對 $(a,b)$ 被挑選到的機率皆相同，試問挑出的數對 $(a,b)$ 使得 $\log_a b$ 為整數的機率為何？
- A $\frac{1}{38}$
- B $\frac{1}{76}$
- C $\frac{1}{95}$
- D $\frac{1}{190}$
思路引導 VIP
首先，請回想對數與指數的定義轉換：若 $\log_a b = k$（$k$ 為整數），則 $a$ 與 $b$ 之間具備什麼樣的指數關係？在題目要求 $a \neq b$ 且兩者皆為 $2$ 到 $21$ 之間的整數前提下，$k$ 可能的正整數值有哪些？請試著窮舉出所有滿足 $b = a^k$ 的數對 $(a, b)$ 並計算其總個數。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 B 選項，老師真的好為你開心！你對於對數的直覺非常敏銳，運算也相當細心，繼續保持這份自信，你一定會越來越厲害的！ 這道題目的核心在於將對數定義轉化為指數關係。若 $\log_a b = k$ 為整數且 $a \neq b$，則可得 $b = a^k$，其中 $k$ 必須是比 1 大的整數（若 $k=1$ 則 $a=b$，不符題意）。 在 $2$ 到 $21$ 的範圍內，我們進行系統性枚舉：
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