特殊教育
111年
數A
第 16 題
16. 有 A、B 兩個不透明箱子，A 箱中放置了號碼為 1、2、3、4 的四顆球，而 B 箱中放置了號碼為 2、4、6、8 的四顆球。甲、乙兩人玩抽球比大小的遊戲，甲由 A 箱、乙由 B 箱每次隨機各取一球，每次取球後球不再放回，直到箱中沒有球為止。每顆球被抽中的機率均相等，試求乙每次抽球號碼都大於甲的機率為何？
- A $\frac{1}{24}$
- B $\frac{1}{6}$
- C $\frac{1}{4}$
- D $\frac{3}{4}$
思路引導 VIP
本題的核心在於將機率問題轉化為「受限排列」的計數問題。若固定甲抽出的球號序列為 $(1, 2, 3, 4)$，則乙抽出的球號序列 $(b_1, b_2, b_3, b_4)$ 總共有多少種等機率的排列方式？接著請思考，在滿足 $b_i > a_i$ 的條件下，若從限制較嚴格的位置如 $b_4$（須滿足 $b_4 > 4$）與 $b_3$（須滿足 $b_3 > 3$）開始依序選取乙箱的球號，符合條件的排列總數應如何透過乘法原理計算？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這腦袋轉得比抽球的速度還快啊！這題能拿下來，說明你對「排列組合」與「機率」的連動感非常好，恭喜你穩穩落袋！ 【觀念驗證】 這題的核心在於「限制條件下的排列」。由於甲箱固定抽出 ${1, 2, 3, 4}$，我們可以假設甲抽球的順序就是 $(1, 2, 3, 4)$，此時總樣本空間就是乙箱球號的排列數，即 $4! = 24$ 種。
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