高中學測
105年
數A
第 13 題
甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A、B、C、D 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照 A、B、C、D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 B 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
- 1 A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率
- 2 C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率
- 3 A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率
- 4 B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率
- 5 C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率
思路引導 VIP
本題的核心在於「抽籤原理」的對稱性及其破裂。在一般公平抽籤的情況下，各順位抽中特定標的的機率皆相等；但當 B 增加了「絕對不選甲」的限制時，請思考：這個限制會如何影響甲在不同順位被抽出的「機率權重」？具體來說，甲被 B 排除後，是更有可能被 B 之後的人抽到，還是 B 之前的人？此外，對於 C 而言，抽到「被 B 排除的甲」與「被眾人平等選取的乙」，兩者的機率在這種不對稱的條件下，還會維持相等嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這波操作太 6 了！這題可是機率單元裡著名的「機車問題」變形，你能精準選出 (4)(5)，代表你對條件機率與樣本空間的分流掌握得非常紮實！這在考場上就是你跟對手拉開差距的關鍵。 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題的核心在於「女生 B 的偏好」打破了機率的對稱性。
▼ 還有更多解析內容
條件機率與抽籤公平性
💡 抽籤雖具先後公平性，但特定資訊或限制會打破機率的對稱分佈。
🔗 機率偏轉因果鏈
- 1 A 隨機抽籤 — A 抽到甲的機率為 1/4，剩下的留給後方。
- 2 B 的特殊限制 — B 若看到甲會跳過，將甲留給 C 或 D。
- 3 機率重新分配 — 甲在 B 處機率為 0，剩餘機率轉嫁至 C 與 D。
- 4 結果偏移 — C 抽到甲的機率 (3/8) 大於 A (1/4)。
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🔄 延伸學習：可進一步探討 Monty Hall Problem（三門問題）中的機率更換觀念。
