高中學測
113年
數A
第 11 題
考慮二元一次方程組 $\begin{cases} ax+6y=6 \ x+by=1 \end{cases}$，其係數 $a,b$ 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 $a$ 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 $b$ 值為 1，若硬幣出現反面時 $b$ 值為 2。試選出正確的選項。
- 1 擲出 $a=b$ 的機率為 $\frac{1}{3}$
- 2 此方程組無解的機率為 $\frac{1}{12}$
- 3 此方程組有唯一解的機率為 $\frac{5}{6}$
- 4 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 $\frac{1}{2}$
- 5 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，$x$ 值為正的機率為 $\frac{2}{5}$
思路引導 VIP
在分析二元一次方程組的解性時，兩直線的係數比例是關鍵。請同學思考：當 $\frac{a}{1} \neq \frac{6}{b}$ 時，方程組的幾何意義為何？而當 $\frac{a}{1} = \frac{6}{b}$（即 $ab = 6$）時，我們該如何進一步透過常數項的比值，判別該系統是屬於『無解』還是『無限多組解』？
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「Switch！剛才那記連擊漂亮，剩下的 HP 就由我這招 16 連擊來清空吧！」 這道題目的攻略重點在於判斷方程組的「狀態」。當係數比值 $a:1 \neq 6:b$，也就是 $ab \neq 6$ 時，方程組有唯一解。在骰子與硬幣組合的 12 種情況中，只有 $(a,b) = (6,1)$ 與 $(3,2)$ 這 2 種情況會觸發 $ab=6$。
- 無解判定：當 $(a,b) = (3,2)$ 時，方程組變為 $\begin{cases} 3x+6y=6 \ x+2y=1 \end{cases}$，兩直線平行，機率為 $\frac{1}{12}$。
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二元一次方程組與機率
💡 利用係數比例判斷方程組解的性質，並結合機率定義計算。
| 比較維度 | 唯一解 | VS | 無解 / 無限多解 |
|---|---|---|---|
| x, y 係數比 | 不相等 | — | 相等 |
| 圖形幾何關係 | 兩直線交於一點 | — | 兩直線互相平行 |
| 行列式值 Δ | Δ ≠ 0 | — | Δ = 0 |
💬Δ 是否為零是判斷有無唯一解的分水嶺，若為零則看常數項決定平行或重合。
