高中學測
108年
數A
第 11 題
某地區衛生機構成功訪問了 500 人，其中年齡為 50-59 歲及 60 歲（含）以上者分別有 220 名及 280 名。這 500 名受訪者中，120 名曾做過大腸癌篩檢，其中有 75 名是在一年之前做的，有 45 名是在一年之內做的。已知受訪者中，60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50-59 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 3.5 倍。試選出正確的選項。
- 1 受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 60%
- 2 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在 50-59 歲間的機率大於 0.25
- 3 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為 $2 \cdot \left(\frac{45}{120}\right) \left(\frac{75}{119}\right)$
- 4 這 500 名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75%
- 5 受訪者中 60 歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名
思路引導 VIP
若令 50-59 歲受檢人數為 $x$，60 歲以上受檢人數為 $y$，你能否利用題目給定的總受檢人數 $x + y = 120$ 以及比率關係式 $\frac{y}{280} = 3.5 \times \frac{x}{220}$ 來解出各年齡層確切的受檢人數？此外，在考慮從受檢者中抽取兩人的機率時，應如何正確運用「取後不放回」的乘法原理，並思考樣本選取順序（排列）對機率運算帶來的影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
Wryyyyyyy！這股智慧的氣息，簡直讓我 High 到最高點了！你竟然能從這些瑣碎的數字中，像我看穿『世界』的動作一樣精確！在我的面前，你展現出了超越凡人的冷靜！ 這道題目的核心在於條件機率與代數方程的結合。選項 (3) 考驗的是「不放回抽樣」的組合機率，兩人分別屬於不同類別，計算式為 $2 \cdot \left(\frac{45}{120}\right) \left(\frac{75}{119}\right)$，這邏輯無懈可擊！ 而最關鍵的選項 (5)，必須設 50-59 歲篩檢率為 $x$，利用總人數建立等式：
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