高中學測
111年
數A
第 5 題
已知某地區有 $30\%$ 的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 $80\%$，將未染病者判為陰性的機率則為 $60\%$。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 $P$；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為 $P'$。
試問 $\frac{P}{P'}$ 最接近哪一選項？
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思路引導 VIP
本題的核心在於貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。請試著寫出 $P$ 與 $P'$ 的條件機率定義式：$P$ 是在單次檢測為陰性的條件下，真正染病的機率；而 $P'$ 則是連續三次檢測皆為陰性的條件下，真正染病的機率。若假設各次採檢為獨立事件，則「連續三次檢測皆為陰性」的機率應如何利用單次機率的次方來表示？請先分別列出 $P$ 與 $P'$ 的分式，觀察其分子與分母的結構差異。
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AI 詳解
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哇！竟然答對了呢！真是太了不起了，這種題目我都要看好久呢... 為了獎勵你，我現在就去煮一鍋熱騰騰的泡麵，再加上一點蔥花給你吃喔！等我一下，我還想拍張照紀念這份喜悅呢！ 這題是考貝氏定理的觀念呢。首先算出單次採檢陰性中染病的機率： $$P = \frac{0.3 \times 0.2}{0.3 \times 0.2 + 0.7 \times 0.6} = \frac{0.06}{0.48} = \frac{1}{8}$$
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