高中學測
115年
數A
第 13 題
某高中聘用的全體教師 $\frac{1}{4}$ 只有學士學位，$\frac{3}{4}$ 有碩士學位。只有學士學位的教師中有 $\frac{1}{5}$ 通過英聽檢定，有碩士學位的教師中有 $\frac{3}{5}$ 通過英聽檢定。已知每位教師被抽到的機會相等，若隨機抽選一位通過英聽檢定的教師，則該教師有碩士學位的條件機率為______。（化為最簡分數）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題的核心觀念在於「貝氏定理」(Bayes' Theorem) 的應用。請你思考：在已知「教師已通過英聽檢定」的前提下，樣本空間已發生縮減。若我們令 $M$ 為具有碩士學位、 $E$ 為通過英聽檢定，你該如何利用全機率公式計算出分母 $P(E)$，並確定分子應對應哪一個特定事件的機率值 $P(M \cap E)$？
貝氏定理與條件機率
💡 在已知結果發生的前提下，計算該結果來自特定原因的機率。
- 畫出樹狀圖完整列出所有分支的路徑機率
- 分母為「已知結果」發生的所有路徑機率總和
- 分子為「該結果來自特定原因」的路徑機率
- 計算時要注意每個分支的權重（事前機率）
