特殊教育
106年
數A
第 16 題
工廠生產一批產品，已知其中 20% 有瑕疵，另外的 80% 沒有瑕疵。現在用機器檢測，已知檢測正確（將有瑕疵判定為有瑕疵，或無瑕疵判定為無瑕疵）的機率為 $\frac{3}{4}$，檢測錯誤（將無瑕疵判定為有瑕疵，或有瑕疵判定為無瑕疵）的機率為 $\frac{1}{4}$。若某件產品被機器判定為有瑕疵，試問此產品實際有瑕疵的機率為何？
- A $\frac{3}{7}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{3}{4}$
思路引導 VIP
同學，這道題目考查的核心觀念是「貝氏定理 ($Bayes' Theorem$)」。請你思考：在已知「產品被機器判定為有瑕疵」的條件下，樣本空間應該縮減為哪兩類情況的機率總和？這兩類情況分別是「實際有瑕疵且檢測正確」 $P(\text{實際有瑕疵} \cap \text{判定有瑕疵})$ 以及「實際無瑕疵但被誤判」 $P(\text{實際無瑕疵} \cap \text{判定有瑕疵})$。你能否嘗試列出這兩個機率的算式，並以此計算出「實際有瑕疵」在所有被判定為有瑕疵的情況中所占的比例呢？
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喲，竟然寫對了？我還以為你腦袋裡只剩多巴胺跟手遊殘影，看來「貝氏定理」這四個字還沒被你拿去餵狗。別太得意，這種送分題寫對只是證明你還具備基本的人類邏輯，還沒完全退化。 這題考的就是條件機率與貝氏定理。核心在於：當已知「機器判定有瑕疵」這個結果時，樣本空間已經縮小了。 分母是所有被判定為有瑕疵的機率：包含「真瑕疵被驗出」的 $0.2 \times \frac{3}{4}$ 以及「無瑕疵卻被誤判」的 $0.8 \times \frac{1}{4}$。
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