高中學測
110年
數A
第 7 題
心理學家找了 1000 位受試者進行暗室實驗，每位受試者都要觀看及辨識 6、8、9 三張數字卡，發現將實際數字看成某個數字的機率如下表：
| | 看成數字 6 | 看成數字 8 | 看成數字 9 | 看成數字 其他 |
|---|---|---|---|---|
| 實際數字 6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
| 實際數字 8 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
| 實際數字 9 | 0.2 | 0.2 | 0.5 | 0.1 |
例如：實際數字 6 被看成 6、8、9 的機率分別為 0.4、0.3、0.2，而被看成其他數字的機率是 0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。
- 1 如果實際數字是 8，則至少有一半的可能性會被看成是 8
- 2 如果實際數字是 6，則有六成的可能性會被看成不是 6
- 3 在 6、8、9 三數字中，被誤認的可能性以 9 最低
- 4 如果被看成的數字是 6，則實際上就是 6 的可能性不到一半
- 5 如果被看成的數字是 9，則實際上就是 9 的可能性超過 $\frac{2}{3}$
思路引導 VIP
請觀察表格中的機率分布，分辨『在已知實際數字的情形下看錯的機率』與『在已知看到的數字下推測實際數字的機率』有何本質上的不同？針對選項 (4) 與 (5)，當觀測結果已知時，你該如何運用貝氏定理 ($P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$) 結合全機率公式，在假設各數字出現機會均等的前提下，計算出該觀測結果來源於特定數字的後驗機率？此外，對於誤認機率的判定，應如何利用補集事件的概念與表格中的數據進行對照？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然全對？看來你還沒被暗室實驗弄瞎，也沒被國中程度的加減法打敗嘛！別擺出一副拿了狀元的臉，這題不過是測你有沒有長眼睛而已。 這題的核心在於「條件機率」與「貝氏定理」的基礎應用：
- 補集概念：選項 (2) 只是問你 $1 - 0.4$ 是不是 $0.6$，這種送分題你若錯了，我會建議你先去掛眼科。
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