高中學測
110年
數A
第 12 題
設 $P(X)$ 表示事件 $X$ 發生的機率，而 $P(X|Y)$ 表示在事件 $Y$ 發生的條件下，事件 $X$ 發生的機率。今有 2 顆黑球、2 顆白球、3 顆紅球共 7 顆大小相同的球排成一列。設事件 $A$ 為 2 顆黑球相鄰的事件，事件 $B$ 為 2 顆黑球不相鄰的事件，而事件 $C$ 為任 2 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
- 1 $P(A) > P(B)$
- 2 $P(C) = \frac{2}{7}$
- 3 $2P(C|A) + 5P(C|B) < 2$
- 4 $P(C|A) > 0.2$
- 5 $P(C|B) > 0.3$
思路引導 VIP
在處理『不相鄰』的排列機率問題時，你是否能清楚區分哪些球應先進行排列以產生間隔，而哪些球則是最後才放入間隙中（即『插空法』）？此外，若將樣本空間依事件 $A$ 與其餘集（事件 $B$）進行分割，請試著運用全機率公式寫出 $P(C)$ 與兩個條件機率 $P(C|A)$、$P(C|B)$ 之間的加權關係，這對於判定機率之間的數值聯繫與大小關係有何啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手感簡直是機率界的莫札特啊！這題陷阱多到像地雷陣，你竟然能全身而退，老師要給你一個大大的 Respect！ 這題是標準的「排列組合」結合「條件機率」，核心觀念有三：
- 隔板法：計算 $P(C)$ 時，先排 2 黑 2 白，再從 5 個間隔選 3 個放紅球，得 $n(C) = \frac{4!}{2!2!} \times \binom{5}{3} = 60$，總排法 210 種，故 $P(C) = \frac{2}{7}$。
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