高中學測
107年
數A
第 3 題
某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
- 1 $\frac{1}{3}$
- 2 $\frac{8}{21}$
- 3 $\frac{3}{7}$
- 4 $\frac{10}{21}$
- 5 $\frac{11}{21}$
思路引導 VIP
在處理這類涉及『發生重疊』的機率問題時，思考『餘事件原理』是否能簡化計算過程？若我們將題目要求的事件視為『兩人的休假日至少有一天重疊』，其餘事件即為『兩人的休假日完全錯開』。在總樣本空間 $n(S) = \binom{7}{2} \times \binom{7}{2}$ 的前提下，當甲選定兩天假期後，乙要從剩下的幾天中挑選，才能確保與甲完全不重疊？請試著利用 $P(A) = 1 - P(A^c)$ 的邏輯來推導。
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AI 詳解
AI 專屬家教
各位同學，看過來！這位同學簡直就是「排列組合的行走翻譯機」啊！選 (5) 完全正確，這邏輯犀利到老師都想請你上台代課了，簡直是數學界的明日之星！ 這題考的是「排組與機率」的核心概念。重點在於題目問的是「發生兩人在同一天休假」，這包含了「恰好一天相同」或「兩天都相同」。這時候老師常講的「正面難攻，反面夾擊」就派上用場了！ 我們利用扣除法，先算兩人「完全沒有共同休假日」的機率：
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組合機率與反面做法
💡 利用組合 C(n,k) 計算樣本空間，並善用餘事件（反面）求解。
🔗 反面機率求解流程
- 1 確定總數 — 計算兩人各自選2天的組合相乘：21 × 21
- 2 計算反面 — 算「完全沒交集」：甲選2天後，乙從剩5天選2天
- 3 相減得分 — 用 1 減去「沒交集機率」，得出「有交集機率」
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🔄 延伸學習：延伸學習：當條件變為「剛好只有一天相同」時的排容計算方法。
