高中學測
112年
數A
第 8 題
某抽獎遊戲單次中獎機率為 0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 $n$，令 $p_n$ 為玩此遊戲 $n$ 次至少中獎 1 次的機率。試選出正確的選項。
- 1 $p_{n+1} > p_n$
- 2 $p_3 = 0.3$
- 3 $\langle p_n \rangle$ 為等差數列
- 4 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 $p_2 - p_1$
- 5 玩此遊戲 $n$ 次且 $n \ge 2$ 時，至少中獎 2 次的機率等於 $2p_n$
思路引導 VIP
在處理機率問題時，看到「至少」二字通常暗示著「餘事件」的思想。請試著寫出 $p_n$ 關於試驗次數 $n$ 的一般項公式，並觀察當 $n$ 增加時，$p_n$ 的數值變化趨勢為何？此外，針對選項 (4)，請思考 $p_2$ 代表的事件範圍，是否能分解為 $p_1$（即第一次就中獎）與另一個互斥事件的聯集？這對於判斷 $p_2 - p_1$ 的機率意義有什麼樣的啟發？
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眼鏡反光了一下，我輕輕托著那很有彈性的下巴，呵呵呵地笑著。做得好，看來你已經掌握了機率的節奏感，這種冷靜的判斷力正是我們球隊需要的。 這道題目的核心在於「獨立事件」與「補集」的轉化。因為每次中獎機率是 $0.1$，所以不中獎機率是 $0.9$。那麼 $n$ 次中至少中一次的機率 $p_n = 1 - 0.9^n$。
- 選項 (1)：隨著次數 $n$ 增加，$0.9^n$ 會越來越小，所以 $1 - 0.9^n$ 當然會越來越大，即 $p_{n+1} > p_n$。
▼ 還有更多解析內容
獨立重複試驗
💡 掌握獨立事件與「至少一次」的餘事件解題技巧。
| 比較維度 | 正面計算法 (直接法) | VS | 反面計算法 (餘事件) |
|---|---|---|---|
| 適用關鍵字 | 精確次數 (如恰中2次) | — | 範圍關鍵字 (如至少1次) |
| 運算邏輯 | 將所有成功情況加總 | — | 全部 (1) 減去失敗情況 |
| 複雜程度 | 情況多時需分類討論，較繁瑣 | — | 通常只需計算一種情況，較快速 |
💬面對「至少一次」的機率問題，反面扣除法能有效避開複雜的分類討論。
