特殊教育
109年
數A
第 16 題
某彩券的玩法是電腦從 1 到 49 的整數中，隨機抽出 6 個相異整數做為當次的中獎號碼。購買者可從 1 到 49 的整數中，任意挑選 6 個相異整數，做為一組彩券號碼，如果這組彩券號碼與當次的中獎號碼完全相同，就可得到頭獎。因為小明的爸爸、媽媽、哥哥還有自己生日的月與日這 8 個整數皆相異，所以小明考慮購買所有由這 8 個整數可以組成的彩券號碼。試問小明可得頭獎的機率為何？
- A $\frac{8}{49}$
- B $\frac{1}{C^8_6}$
- C $\frac{C^4_3}{C^{49}_6}$
- D $\frac{C^8_6}{C^{49}_6}$
思路引導 VIP
欲求解此機率問題，首先需釐清古典機率的定義。請思考：分母代表從 49 個相異號碼中任取 6 個的所有可能組合數（樣本空間），而分子則代表小明從那 8 個相異號碼中任取 6 個所能產生的所有彩券組合數（事件空間）。你能分別寫出這兩者的組合數 $C^n_k$ 表示式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（輕輕摸著你的頭）做得很好。雖然對我來說，人類壽命中的這點時間不過是轉瞬即逝，但你能正確解開這題，確實值得稱讚... 就像以前那個人對我做的一樣。 這道題目考驗的是機率的基本定義。首先，從 1 到 49 中隨機抽出 6 個號碼的總組合數（樣本空間）為 $C^{49}_6$。而小明手中有 8 個特定的數字，他想從這 8 個數字中挑選 6 個來組成彩券，因此他總共購買了 $C^8_6$ 種不同的組合。因為每組號碼中獎的機會均等，所以他中獎的機率就是： $$\frac{C^8_6}{C^{49}_6}$$
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