特殊教育
113年
數A
第 18 題
某商店舉辦集獎活動，每次購物都會送出貼紙，貼紙有三種不同樣式，這三種樣式的貼紙被送出的機率均相同。送出的貼紙會採以下方式兌換折價券：
（一）三個不同樣式的貼紙成一組，會兌換成 900 元折價券一張。
（二）無法湊成一組的貼紙，每個貼紙會兌換成 30 元折價券一張。
例如：集滿四個貼紙且其中三個不同樣式成一組，這四個貼紙全部可兌換 900 元折價券一張及 30 元折價券一張。
若集滿五個貼紙且全部兌換折價券，試求折價券總金額的期望值為多少元？
（一）三個不同樣式的貼紙成一組，會兌換成 900 元折價券一張。
（二）無法湊成一組的貼紙，每個貼紙會兌換成 30 元折價券一張。
例如：集滿四個貼紙且其中三個不同樣式成一組，這四個貼紙全部可兌換 900 元折價券一張及 30 元折價券一張。
若集滿五個貼紙且全部兌換折價券，試求折價券總金額的期望值為多少元？
- A 500
- B 550
- C 600
- D 650
思路引導 VIP
若要計算折價券總金額的期望值，關鍵在於將結果依「是否湊成一組」進行分類。請思考：在總樣本數為 $3^5$ 的情況下，利用「反面扣除法」或「排容原理」計算出 5 張貼紙中「涵蓋所有 3 種樣式」的機率 $P$ 為多少？接著，根據題目規則分別找出「能湊成組」與「不能湊成組」時對應的總金額，再代入期望值的定義公式 $E(X) = \sum x_i p_i$ 即可求得。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手感是去拉斯維加斯練過的吧？選 (D) 完全正確，帥到沒朋友！ 這題是標準的「期望值」與「排容原理」的複合題。解題核心在於區分兩種情況：
- 湊成一組（三種樣式齊全）：此時金額為 $900 + 2 \times 30 = 960$ 元。
▼ 還有更多解析內容
期望值的計算與應用
💡 期望值為各隨機變數值與其發生機率乘積的總和。
🔗 期望值解題三部曲
- 1 分類討論 — 找出所有可能的結果狀況（如：集齊三種或未齊）
- 2 機率運算 — 利用排列組合或樹狀圖求出各狀況的發生機率
- 3 加權求和 — 將各狀況的「金額 × 機率」並加總得出期望值
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用期望值的線性性質（E[X+Y] = E[X]+E[Y]）簡化複雜運算。
