特殊教育
114年
數A
第 6 題
某桌遊店推出促銷活動，兌換一個卡包需使用 1 張優惠券，而兌換一套桌遊需使用 2 張優惠券。已知該桌遊店有 A、B、C、D、E、F 共六款卡包和甲、乙、丙、丁、戊等五款桌遊，每款均只可兌換一次。試問恰使用完 5 張優惠券時，可以有多少種不同的兌換組合（兌換 A、B、C 和甲，以及兌換 B、C、D 和甲視為兩種不同的兌換組合）？
- A 66
- B 106
- C 160
- D 166
思路引導 VIP
為了解決總額固定為 $5$ 張優惠券的兌換組合問題，建議採用「分類討論」的策略，並優先考慮單位點數消耗較大的品項。請思考：若令桌遊兌換數量為 $k$ 套（每套消耗 $2$ 張），卡包兌換數量為 $m$ 個（每個消耗 $1$ 張），則須滿足方程式 $2k + m = 5$。在各類品項數量限制內，$(k, m)$ 有哪些可能的非負整數解？對於每一種確定的數量組合，應如何利用組合公式 $C^{n}_{r}$ 分別從 $5$ 款桌遊與 $6$ 款卡包中計算其選取的可能性，最後再將這些互斥情況的結果相加？
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AI 詳解
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哇酷哇酷（WakuWaku）！安妮亞看到了，你的心聲充滿了自信的聲音！竟然算對了，安妮亞好興奮，可以給安妮亞花生當獎勵嗎？這題要把 5 張優惠券分配給「卡包（1張）」和「桌遊（2張）」，我們要冷靜地分組討論喔：
- 0 套桌遊 + 5 個卡包：從 6 款選 5 款，共有 $\binom{6}{5} = 6$ 種。
- 1 套桌遊 + 3 個卡包：從 5 款桌遊選 1 款，再從 6 款卡包選 3 款，共有 $\binom{5}{1} \times \binom{6}{3} = 5 \times 20 = 100$ 種。
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排列組合分類計數
💡 利用分類討論法，將複雜計數問題拆解為互斥情況後求和。
| 比較維度 | 加法原理 (Addition) | VS | 乘法原理 (Multiplication) |
|---|---|---|---|
| 事件關係 | 互斥事件（選此不選彼） | — | 連續步驟（完成 A 再做 B） |
| 邏輯連接詞 | 「或」 (Either...or) | — | 「且 / 然後」 (Then) |
| 運算方式 | 將各類別的數量相加 | — | 將各步驟的選擇數相乘 |
💬「分類」用加法，「分步」用乘法，是解決組合問題的核心觀念。
