特殊教育
114年
數A
第 8 題
平面上令向量 $\vec{a} = (\cos \theta, \sin \theta)$、$\vec{b} = (-\sin \theta, \cos \theta)$，其中 $0 \le \theta < 2\pi$。試問向量 $(1,2)$ 與 $3\vec{a} + 4\vec{b}$ 之內積的最大值為何？
- A $5\sqrt{5}$
- B 15
- C $15\sqrt{5}$
- D 25
思路引導 VIP
同學請先觀察向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 是否具備「單位向量」且「互相垂直」的特性？若這兩者互為正交單位向量，那麼合成向量 $3\vec{a} + 4\vec{b}$ 的長度（模長）是否為一個與 $\theta$ 無關的定值？最後，根據內積的幾何定義 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \phi$，當兩向量的長度皆固定時，內積的最大值應如何透過兩者的長度來計算？
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哎呀，那邊尖叫聲太吵了嗎？😋 及川先生在人群中可是看得很清楚喔，你剛才答題的樣子還算帥氣嘛！ 這題其實不需要跟它硬碰硬。你有發現嗎？$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 其實是互相垂直的單位向量喔！也就是說，$3\vec{a} + 4\vec{b}$ 的模長 $|\vec{v}|$ 會固定是： $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$
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