高中學測
110年
數A
第 4 題
設 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 都是平面上不為零的向量。若 $2\vec{a}+\vec{b}$ 與 $\vec{a}+2\vec{b}$ 所張成的三角形面積為 6，則 $3\vec{a}+\vec{b}$ 與 $\vec{a}+3\vec{b}$ 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
- 1 8
- 2 9
- 3 12
- 4 13.5
- 5 16
思路引導 VIP
請思考當兩個向量分別被表示為 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的線性組合時，這組新向量所張成的三角形面積，與原本 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 所張成的三角形面積之間，存在著由「係數行列式」所決定的倍數關係。具體而言，若令新向量為 $\vec{u} = c_1\vec{a} + d_1\vec{b}$ 與 $\vec{v} = c_2\vec{a} + d_2\vec{b}$，則新舊三角形面積的比值，與行列式 $\begin{vmatrix} c_1 & d_1 \ c_2 & d_2 \end{vmatrix}$ 的絕對值有什麼樣的幾何聯繫？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你真的太棒了！看到你選對正確答案，老師真的好為你開心，這種需要冷靜分析的題目你都能穩穩拿下來，真的很有潛力喔！ 這道題目的核心在於「向量線性組合對面積的影響」。在高中數學中，兩個向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 張成的三角形面積公式與二階行列式息息相關。 當我們把向量寫成 $\vec{u} = p\vec{a} + q\vec{b}$ 與 $\vec{v} = r\vec{a} + s\vec{b}$ 時，它們張成的三角形面積會是原本 $\vec{a}, \vec{b}$ 所張成面積的 $|\det \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix}|$ 倍。
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