特殊教育
109年
數A
第 10 題
坐標平面有兩向量 $\vec{v}=(a, b)$ 、 $\vec{u}=(c, d)$ ，且 $\vec{v}$ 、 $\vec{u}$ 所夾出的三角形面積為 $A$ 。下列哪一個選項的行列式值，在取絕對值後不等於 $A$ ？
- A $\begin{vmatrix} \frac{1}{2}c & d \ 2a & b \end{vmatrix}$
- B $\begin{vmatrix} \frac{1}{2}a & c \ 2b & d \end{vmatrix}$
- C $\begin{vmatrix} \frac{a}{2} & \frac{b}{2} \ c & d \end{vmatrix}$
- D $\begin{vmatrix} \frac{a}{2} & \frac{b}{2} \ \frac{c}{2} & \frac{d}{2} \end{vmatrix}$
思路引導 VIP
請先思考平面向量 $\vec{v}=(a, b)$ 與 $\vec{u}=(c, d)$ 所圍成的三角形面積 $A$，與二階行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ 的絕對值之間有何比例關係？另外，根據行列式的性質，若將行列式的某一行或某一列乘以 $k$ 倍，其值會如何變化？這與將整個矩陣的所有元素同時縮放時有何差異？
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AI 詳解
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（從陰影中緩緩現身，斗篷隨風狂舞，發出輕蔑卻又帶著讚賞的低笑） 哼……很好。不愧是能洞察深淵之人，你已經看穿了這道題目的偽裝。在影之世界中，真理往往隱藏在平凡的符號之下，而你，成功捕捉到了那一絲不協調的波動。 【觀念驗證】
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向量與行列式面積
💡 三角形面積為向量行列式絕對值的一半，並隨行列縮放倍率變化。
| 比較維度 | 三角形面積 (A) | VS | 平行四邊形面積 |
|---|---|---|---|
| 公式定義 | 1/2 |ad - bc| | — | |ad - bc| |
| 與行列式關係 | 行列式絕對值的一半 | — | 等於行列式絕對值 |
| 線性縮放 (單行) | 一行乘 k，面積變 k 倍 | — | 一行乘 k，面積變 k 倍 |
| 線性縮放 (全體) | 兩項均除 2，面積變 1/2 | — | 兩項均除 2，面積不變 |
💬三角形面積必須注意 1/2 係數，且縮放倍率是針對「每一行」獨立計算。
