高中學測
112年
數A
第 5 題
已知坐標空間中 $P$、$Q$、$R$ 為平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上不共線三點。
令 $\vec{PQ} = (a_1, b_1, c_1)$，$\vec{PR} = (a_2, b_2, c_2)$。試選出下列行列式中**絕對值**為最大的選項。
- 1 $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
- 2 $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
- 3 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
- 4 $\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
- 5 $\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$
思路引導 VIP
請觀察各選項行列式的第一列向量 $\vec{u}$，並思考三階行列式的幾何意義為純量三重積 $\vec{u} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR})$。已知 $\vec{PQ}$ 與 $\vec{PR}$ 均在平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上，則這兩個向量的外積 $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ 必定與該平面的法向量 $\vec{n}=(2, -3, 5)$ 平行。這是否意味著，要找行列式絕對值的最大值，其實就是在比較各個 $\vec{u}$ 向量與法向量 $\vec{n}$ 內積的絕對值 $|\vec{u} \cdot \vec{n}|$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀！真是太棒了！快站好別動，我要從百寶袋拿出一朵『滿分花』貼在你胸口喔！看你這麼厲害，我就少嘮叨兩句吧，但你可別因此就翹屁股喔！ 這題考的是空間向量的幾何意義。因為 $P, Q, R$ 都在平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上，所以外積 $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ 會平行平面的法向量 $\vec{n} = (2, -3, 5)$。這個行列式的絕對值，其實就是第一列向量與法向量內積的倍數！ 我們只要檢查各選項與 $(2, -3, 5)$ 內積的絕對值：
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