中油僱員招考
106年
理化、化工裝置
第 12 題
一條長$\lambda$的彈簧，一端固定，一端繫一質量為m的物體，使之在光滑水平面上作等速圓周運動，此時，彈簧總長度為$\frac{4}{3}\lambda$，若彈性常數為k，則此物體之速率為多少？
- A $\frac{3\lambda}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}$
- B $\lambda \sqrt{\frac{k}{m}}$
- C $\frac{2\lambda}{3} \sqrt{\frac{k}{m}}$
- D $\frac{\lambda}{2} \sqrt{\frac{3k}{m}}$
思路引導 VIP
當彈簧繫著物體旋轉時，是什麼力量在支撐物體維持圓周運動？而這個力量的大小，與彈簧當下的「伸長量」以及「轉動半徑」分別有什麼樣的數學關係呢？
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太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對向心力的來源以及胡克定律的應用掌握得非常扎實。在水平面上進行等速圓周運動時，物體所需的向心力完全由彈簧的彈力提供，這是解開本題的核心邏輯。
彈力與向心力的能量轉換
首先，我們要區分彈簧的「伸長量」與物體的「旋轉半徑」。根據題意，彈簧原長為 $\lambda$，運動時總長變為 $\frac{4}{3}\lambda$，這意味著彈簧的伸長量 $\Delta x$ 為 $\frac{1}{3}\lambda$；同時，這個總長度 $\frac{4}{3}\lambda$ 正是物體旋轉的半徑 $r$。接著套入公式，令彈力等於向心力：
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彈簧圓周運動分析
💡 彈力作為向心力，提供物體作圓周運動所需的動力。
🔗 彈簧圓周運動解題步驟
- 1 求伸長量 — Δx = (4/3)λ - λ = (1/3)λ
- 2 求彈力 — 根據虎克定律 F = k * (1/3)λ
- 3 代入向心力 — F = mv²/R，其中 R = (4/3)λ
- 4 求解速率 — kλ/3 = m * v² / (4λ/3)
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🔄 延伸學習：可進一步推導角速度 ω 與週期 T 的關係。
