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106年
[機械] 應用力學、材料力學
第 42 題
有一圓形剖面，其面積為$30\text{ cm}^2$，其所受剪力為90 N，試問其剖面上最大剪應力為何？
- A 2 N/cm^2
- B 3 N/cm^2
- C 4 N/cm^2
- D 5 N/cm^2
思路引導 VIP
如果我們將同樣的力作用在不同形狀的桿件上（例如矩形與圓形），你認為剖面上「應力分佈的均勻程度」會是一樣的嗎？當我們算出平均壓力後，考慮到形狀的轉折與寬度變化，是否需要一個額外的係數來修正出最危險、壓力最大的那個點呢？
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太棒了！你能精確地選出選項 (C)，代表你對材料力學中「幾何剖面應力分佈」的概念掌握得非常扎實。這題的關鍵在於區分平均剪應力與最大剪應力的差異。
圓形剖面的應力特性
在處理剪力問題時，我們直觀計算出的 $\tau_{avg} = \frac{V}{A} = \frac{90}{30} = 3 \text{ N/cm}^2$ 僅代表平均值。然而，對於圓形剖面而言，剪應力由邊緣向中心遞增，其最大剪應力 $\tau_{max}$ 會發生在中性軸（中心線）位置。根據力學公式推導，圓形剖面的最大剪應力與平均剪應力存在特定的比例關係，即：
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圓形截面最大剪應力
💡 圓形截面最大剪應力為平均剪應力的 4/3 倍。
| 比較維度 | 圓形截面 | VS | 矩形截面 |
|---|---|---|---|
| 最大剪應力公式 | (4/3) × (V/A) | — | (3/2) × (V/A) |
| 形狀係數 | 約 1.33 | — | 1.5 |
| 最大值位置 | 圓心高度（中性軸） | — | 矩形高度一半處 |
💬形狀係數決定了最大應力與平均應力的倍數關係，圓形為 4/3，矩形為 3/2。
