專技高考
106年
[建築師] 建築結構
第 9 題
📖 題組：
圖(a)所示懸臂梁在自由端承受 P 的集中載重，梁的斷面分別選用正方形斷面以及圓形斷面，如圖(b)所示。當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時：
圖(a)所示懸臂梁在自由端承受 P 的集中載重，梁的斷面分別選用正方形斷面以及圓形斷面，如圖(b)所示。當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時：
當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時，正方形斷面梁的最大變位為圓形斷面梁的多少倍？
- A 1.047
- B 0.955
- C 0.846
- D 1.182
思路引導 VIP
若我們要比較兩種不同形狀的梁在相同材料量（面積相等）下的變形量，首先需要思考：梁的抗彎能力主要與哪個幾何參數（慣性矩 $I$）有關？接著，請試著分別寫出正方形與圓形斷面的慣性矩公式，並嘗試將公式中的尺寸參數（如邊長或直徑）全部改以「面積 $A$」來表示，這時你會發現兩者的慣性矩大小出現了有趣的比例關係，這對最終的變位量會產生什麼影響呢？
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非常好！你能準確判斷出 0.955 這個數值，代表你對斷面幾何性質與結構變位之間的連動關係掌握得相當紮實。這類題目的核心在於驗證對「慣性矩」概念的靈活運用，以及在約束條件下進行代數轉換的能力。
斷面幾何與剛度的關聯
在相同材料、長度與集中載重下，懸臂梁自由端的最大變位公式為 $\delta = \frac{PL^3}{3EI}$。從公式中可以觀察到，變位量與慣性矩 $I$ 成反比，即 $\delta \propto \frac{1}{I}$。因此，題目要求的變位倍數，本質上就是兩個斷面慣性矩的倒數比。
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