地特三等申論題
107年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
四、某大學某系所 60 位學生針對 107 年公投議題進行假投票，他們的座號從「01」開始一直編到「60」。抽樣方法課的授課師長為了示範系統抽樣，私底下先詢問了全班每一位同學對「議題甲」的個人意見。發現座號「04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60」的這幾位同學表示支持議題甲。現在引用「每 5 個取 1 個」的系統抽樣估計支持者的比例。 請回答：如果系統抽樣的起始座號是 03， (一)支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分） (二)估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分） (三)假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
四、某大學某系所 60 位學生針對 107 年公投議題進行假投票，他們的座號從「01」開始一直編到「60」。抽樣方法課的授課師長為了示範系統抽樣，私底下先詢問了全班每一位同學對「議題甲」的個人意見。發現座號「04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60」的這幾位同學表示支持議題甲。現在引用「每 5 個取 1 個」的系統抽樣估計支持者的比例。 請回答：如果系統抽樣的起始座號是 03， (一)支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分） (二)估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分） (三)假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
支持議題甲的樣本比例等於多少（答案請用分數表達）？（15 分）
思路引導 VIP
首先根據系統抽樣的起點與間隔（每 5 個取 1 個），列出所有被抽中樣本的座號。接著比對題目給定的支持者名單，計算樣本中包含幾位支持者，最後相除即可求出樣本比例。
小題 (二)
估計上述樣本比例的變異數（答案請四捨五入到第四位小數）。（10 分）
思路引導 VIP
這題考查系統抽樣下樣本比例變異數的「估計」。由於單一系統抽樣的樣本無法直接且無偏地估計自身的變異數，實務上通常將其視為簡單隨機抽樣，並代入公式 V_hat = (1 - n/N) * [p_hat(1 - p_hat) / (n - 1)] 來進行計算。
小題 (三)
假設估計誤差被定義為上述變異數放大 4 倍後的正方根，請問第一小題樣本比例的估計誤差等於多少（答案請四捨五入到第四位小數）？（5 分）
思路引導 VIP
本題考查估計誤差的計算。只需將前一小題求得的樣本比例變異數，代入題目給定的定義「變異數放大 4 倍後的正方根」中，並注意將結果四捨五入至小數點後第四位。