地特四等申論題
107年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
承前一題中的資料，
承前一題中的資料，
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
如果想了解該課程 100 位同學，期中考成績與期末考成績的變異數是否一樣，這組 4 位同學期中考及期末考成績的變異數是否可用來推導 F 分配？請說明理由。（5 分）
思路引導 VIP
看到檢定兩個變異數是否相等，直覺應想到兩樣本變異數比的 F 檢定。但務必立刻檢查 F 分配的建構前提：兩樣本必須為「獨立」的隨機樣本。本題期中考與期末考成績來自「同一批」學生，屬於成對（相依）樣本，違反了獨立性假設，故無法直接使用標準 F 分配。
小題 (二)
若進一步考慮簡單線性迴歸模型：Y = α + βX + ε，其中 X 為期中考成績，Y 為期末考成績，求算判定係數 r^2（coefficient of determination），迴歸線截距項估計值 α_hat 及迴歸線斜率估計值 β_hat。（15 分）
思路引導 VIP
看到簡單線性迴歸模型，首要任務是提取前題整理好的各項總和與平均數資料。此類題型計算具備強烈的連鎖性，務必遵守嚴謹的推導順序：先利用離均差交乘和與平方和求出斜率估計值 β_hat，再代入平均數座標點 (X_bar, Y_bar) 求截距 α_hat，最後利用變異數解釋比例（或相關係數平方）計算判定係數 r^2。