地特四等申論題
107年
[經建行政] 統計學概要
第 五 題
一位分析師為探討 A 地區勞工的所得（X）如何影響其休閒娛樂支出（Y）而建立如下之迴歸模型：
$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 為隨機誤差項，且 $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$。該分析師在 A 地區隨機抽樣了 101 位勞工，經蒐集此 101 位勞工之相關資料，並得統計資料如下：（單位：千元）
相關係數 $r_{XY} = 0.5$，$X$ 的樣本標準差 $s_X = 10$，$Y$ 的樣本標準差 $s_Y = 2$
註：$s_X = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$，$s_Y = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(y_i - \bar{y})^2}$，$r_{XY} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar{y})^2}}$
📝 此題為申論題
📜 參考法條
附表：t 分配臨界值表
思路引導 VIP
本題屬於簡單線性迴歸分析之基礎題型。看到這類給定樣本相關係數與樣本標準差的題目，應立即聯想到斜率估計式 $\hat{\beta} = r_{XY} \frac{s_Y}{s_X}$，以及判定係數 $R^2 = r_{XY}^2$。若需進一步計算檢定統計量或變異數，則可利用 $SST = (n-1)s_Y^2$ 展開變異數分析 (ANOVA) 表進行完整推導。
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【解題關鍵】利用樣本相關係數與樣本標準差的關係式推導迴歸斜率估計值 $\hat{\beta} = r_{XY} \frac{s_Y}{s_X}$，並利用總變異 (SST) 與判定係數 ($R^2$) 推導其他迴歸統計量。 【解答】 因原題目未具體列出所求之子題，基於普考統計學概要之常見考法與精算嚴謹性，以下完整提供簡單線性迴歸模型中核心統計量的計算與推導過程：
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