地特四等申論題
107年
[經建行政] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
一位分析師為探討 A 地區勞工的所得（X）如何影響其休閒娛樂支出（Y）而建立如下之迴歸模型： $Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 為隨機誤差項，且 $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$。該分析師在 A 地區隨機抽樣了 101 位勞工，經蒐集此 101 位勞工之相關資料，並得統計資料如下：（單位：千元） 相關係數 $r_{XY} = 0.5$，$X$ 的樣本標準差 $s_X = 10$，$Y$ 的樣本標準差 $s_Y = 2$ 註：$s_X = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$，$s_Y = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(y_i - \bar{y})^2}$，$r_{XY} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar{y})^2}}$
一位分析師為探討 A 地區勞工的所得（X）如何影響其休閒娛樂支出（Y）而建立如下之迴歸模型： $Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 為隨機誤差項，且 $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$。該分析師在 A 地區隨機抽樣了 101 位勞工，經蒐集此 101 位勞工之相關資料，並得統計資料如下：（單位：千元） 相關係數 $r_{XY} = 0.5$，$X$ 的樣本標準差 $s_X = 10$，$Y$ 的樣本標準差 $s_Y = 2$ 註：$s_X = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$，$s_Y = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(y_i - \bar{y})^2}$，$r_{XY} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar{y})^2}}$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (三)
在顯著水準 $\alpha=0.05$ 之下，「勞工的所得越高，其休閒娛樂支出也越高」的說法是否能被接受？請列出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域和結論。（10 分）
思路引導 VIP
本題核心在於簡單線性迴歸模型的斜率檢定。看到「所得越高，支出越高」應直覺設定右尾檢定的對立假設 $\beta > 0$。可透過變異數分析求得斜率估計值與標準誤，或直接利用相關係數檢定之等價公式 $T = r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2}$ 快速計算統計量，並與臨界值比較作結。
小題 (二)
試求變異數 $\sigma^2$ 之估計值為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到求誤差變異數 $\sigma^2$ 的估計值，應立刻聯想到求均方誤差（MSE）或 $s^2 = \frac{SSE}{n-2}$。利用題幹提供的相關係數 $r_{XY}$ 可得判定係數 $R^2$，結合 $Y$ 的樣本標準差推算出總平方和 $SST$，利用 $SSE = SST(1-R^2)$ 即可順利解出。
📜 參考法條
附表：t 分配臨界值表