普考申論題
109年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
四、某一速食店經理為瞭解其廣告促銷的效果，乃抽取20家分店做實驗，比較廣告促銷前後的銷售量效果。設Xi表示分店廣告促銷前的銷售量，而Yi表示分店廣告促銷後的銷售量。實驗結束後，經統計得相關資料如下：廣告促銷前的平均銷售量x̄=1000，變異數s²_X=2500；廣告促銷後的平均銷售量ȳ=1200，變異數s²_Y=3600；廣告促銷前後銷售量的相關係數r_XY=0.8。 又假設Xi與Yi呈現線性相關，其模式為Yi=α+βXi+εi，其中εi為隨機誤差項，且εi ~ N(0,σ²)，i=1, 2,..., 20。則：
四、某一速食店經理為瞭解其廣告促銷的效果，乃抽取20家分店做實驗，比較廣告促銷前後的銷售量效果。設Xi表示分店廣告促銷前的銷售量，而Yi表示分店廣告促銷後的銷售量。實驗結束後，經統計得相關資料如下：廣告促銷前的平均銷售量x̄=1000，變異數s²_X=2500；廣告促銷後的平均銷售量ȳ=1200，變異數s²_Y=3600；廣告促銷前後銷售量的相關係數r_XY=0.8。 又假設Xi與Yi呈現線性相關，其模式為Yi=α+βXi+εi，其中εi為隨機誤差項，且εi ~ N(0,σ²)，i=1, 2,..., 20。則：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試根據上述資料，以最小平方法估計迴歸直線Ŷ = α̂ + β̂X。（10分）
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸的參數估計。給定相關係數 r、自變數變異數 s²_X 與應變數變異數 s²_Y 時，可直接利用公式 β̂ = r × (s_Y / s_X) 求得斜率。得到斜率後，利用迴歸直線必過點 (x̄, ȳ) 的性質，代入公式 α̂ = ȳ - β̂x̄ 即可求得截距。第一步要先將給定的變異數開根號還原為標準差。
小題 (二)
試求迴歸誤差之母體變異數σ²的估計值為何？（8分）
思路引導 VIP
誤差變異數 σ² 的不偏估計量是均方誤差 (MSE = SSE / (n-2))。此題未直接給定總變異 (SST) 或殘差變異 (SSE)，須利用給定統計量轉換。SST = (n-1)s²_Y；而迴歸判定係數 r² = SSR/SST，故可推得未解釋變異 SSE = SST × (1 - r²)。最後除以自由度 (20-2=18) 即可。
小題 (三)
試以顯著水準α = 0.05，檢定H0: β = 1，H1: β ≠ 1。（10分）
思路引導 VIP
這是一個針對迴歸斜率(β)的雙尾 t 檢定。檢定統計量公式為 t = (β̂ - β_0) / s_β̂。其中，標準誤 s_β̂ = √(MSE / S_XX)。上一題已求出 MSE，這題需先求 S_XX = (n-1)s²_X，進而求出 t 統計量。最後，找出自由度為 n-2 (18) 的臨界 t 值進行比對。
📜 參考法條
註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下：t_0.025(18)=2.101