第 二 題
一公司利用簡單線性迴歸模式來建立其銷售額（Y）與所進行的廣告次數（X）之間的關係。給定下列10組資料(y1, x1),…,(y10, x10)，其中yi為第i個月之銷售額，而xi為第i個月所進行的廣告次數，根據所得之資訊：10筆銷售額資料y1,…,y10其平均值為130而變異數為1748，10筆廣告次數資料x1,…,x10其平均值為14，此外，銷售額資料y1,…,y10與廣告次數資料x1,…,x10其共變異數為316，利用最小平方法（least squares method）所得估計迴歸關係式為Y = 60 + 5X。
小題 (二)
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題幹給了Y的變異數（Var(Y)=1748）和XY的共變異數（Cov(X,Y)=316）。從迴歸斜率 β1 = Cov(X,Y)/Var(X) = 5 著手，可以反推出 Var(X)。再利用判定係數 R^2 = [Cov(X,Y)]^2 / (Var(X)*Var(Y)) 計算。相關係數 r 就是 R^2 的平方根，且其正負號需與斜率 β1 的符號一致。這題考驗的是將變異數、共變異數與迴歸係數之間公式的串接。
小題 (一)
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迴歸分析基本概念題。配適值（預測值，fitted value, Y-hat）就是將自變數X代入迴歸方程式所得到的Y值。殘差（residual, e）則是實際觀測值Y減去配適值Y-hat的差額。將 x=8 代入 Y=60+5X，求得 Y-hat，再用 y=88 減去 Y-hat 即可。
小題 (三)
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進行迴歸斜率的 t 檢定。假設檢定 H0: β1 = 0 vs H1: β1 ≠ 0。需要計算檢定統計量 $t = \hat{\beta}1 / S{\beta 1}$。首先要算出殘差均方誤差 (MSE) 來求得 $S_{\beta 1}$。總變異 $SST = S_{yy} = (n-1)Var(Y) = 9 \times 1748 = 15732$。可解釋變異 $SSR = \hat{\beta}1 S{xy} = 5 \times [9 \times Cov(X,Y)] = 5 \times 9 \times 316 = 14220$。殘差變異 $SSE = SST - SSR = 15732 - 14220 = 1512$。$MSE = SSE / (n-2) = 1512 / 8 = 189$。斜率的標準誤 $S_{\beta 1} = \sqrt{MSE / S_{xx}} = \sqrt{189 / (9 \times 63.2)} = \sqrt{189 / 568.8}$。求出 t 值後，與附表 t 分配表（df=8, α/2=0.025）查得的臨界值比較。