普考申論題
112年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
三、在簡單直線迴歸中，設自變數X為廣告費用，應變數Y為銷售量，樣本數n = 10。已知： $\sum_{i=1}^{n} x_i = 140, \sum_{i=1}^{n} y_i = 1300, \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = 21040,$ $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 2528, \sum_{i=1}^{n} y_i^2 = 184730$ 試求：
三、在簡單直線迴歸中，設自變數X為廣告費用，應變數Y為銷售量，樣本數n = 10。已知： $\sum_{i=1}^{n} x_i = 140, \sum_{i=1}^{n} y_i = 1300, \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = 21040,$ $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 2528, \sum_{i=1}^{n} y_i^2 = 184730$ 試求：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
用最小平方法求迴歸直線。（10分）
思路引導 VIP
看到求迴歸直線方程式 $\hat{y} = \hat{\beta}0 + \hat{\beta}_1 x$，應先想到計算樣本平均數，以及離均差交乘積和 SS{xy} 與自變數離差平方和 SS_{xx}。接著代入最小平方法公式求解迴歸係數即可。
小題 (二)
求斜率β_1之95%信賴區間。（10分）
思路引導 VIP
看到迴歸斜率的信賴區間題型，應立即聯想其估計式服從 t 分配。解題順序為：先利用給定數值算出離差平方和(SSxx, SSxy)求出斜率估計值 β̂₁，接著計算殘差平方和(SSE)與均方誤差(MSE)以取得 β̂₁ 的標準誤，最後代入 t 分配臨界值建構區間。
小題 (三)
求判定係數R^2。（5分）
思路引導 VIP
計算判定係數 R² 在簡單直線迴歸中等同於相關係數 r 的平方，公式為 R² = (S_xy)² / (S_xx * S_yy)。考生應先利用已知的各項總和求出變異數與共變異數項 (S_xx, S_yy, S_xy)，再代入公式求出判定係數，並將最終結果計算至小數點後第四位。
📜 參考法條
附表一：t值表