普考申論題
113年
[經建行政] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
某公司的維修部門負責該公司所有機器設備維修工作，部門經理為估計下年度所需之維修成本，蒐集了過去 6 個月的機器運轉時數（x_i）與所耗用的維修費用（y_i）資料，並建立了二者間的迴歸模型：y_i = alpha + beta * x_i + epsilon_i, i = 1, 2, ..., n，假設 epsilon_i 為相互獨立且具有共同分配 N(0, sigma^2)。令 y_i 的最小平方估計值為 y_hat_i = a + b * x_i，已知樣本相關資訊如下： n = 6，sum(x_i) = 24，sum(y_i) = 360，sum((x_i - x_bar)^2) = 20，sum((y_i - y_bar)^2) = 2,000，sum((x_i - x_bar)(y_i - y_bar)) = 190，其中 x_bar 和 y_bar 分別表示 n 個 x_i 和 n 個 y_i 的樣本平均數。
某公司的維修部門負責該公司所有機器設備維修工作，部門經理為估計下年度所需之維修成本，蒐集了過去 6 個月的機器運轉時數（x_i）與所耗用的維修費用（y_i）資料，並建立了二者間的迴歸模型：y_i = alpha + beta * x_i + epsilon_i, i = 1, 2, ..., n，假設 epsilon_i 為相互獨立且具有共同分配 N(0, sigma^2)。令 y_i 的最小平方估計值為 y_hat_i = a + b * x_i，已知樣本相關資訊如下： n = 6，sum(x_i) = 24，sum(y_i) = 360，sum((x_i - x_bar)^2) = 20，sum((y_i - y_bar)^2) = 2,000，sum((x_i - x_bar)(y_i - y_bar)) = 190，其中 x_bar 和 y_bar 分別表示 n 個 x_i 和 n 個 y_i 的樣本平均數。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
計算最小平方估計值 y_hat_i 中的 a 和 b 的數值。（10 分）
思路引導 VIP
考點是簡單線性迴歸的參數估計。
- 先算斜率 $b$：$b = S_{xy} / S_{xx}$。
小題 (二)
已知迴歸模型的判定係數 R^2 為 0.9025，計算出以下迴歸模型的變異數分析表中 A1、A2、A3 的數值。（12 分）
| | 自由度 | SS | MS | F |
|---|---|---|---|---|
| 迴歸 (R) | — | A1 | — | A3 |
| 殘差 (E) | — | — | 48.75 | |
| 總和 (T) | — | A2 | | |
| | 自由度 | SS | MS | F |
|---|---|---|---|---|
| 迴歸 (R) | — | A1 | — | A3 |
| 殘差 (E) | — | — | 48.75 | |
| 總和 (T) | — | A2 | | |
思路引導 VIP
迴歸分析的 ANOVA 表。關鍵是 $R^2$、SS、df 之間的關係。
- $A2$ 即 $SST$，由題目 $sum((y_i - y_bar)^2)$ 得出。
小題 (三)
為了檢定迴歸模型的斜率 beta 是否大於 0，即 H0：beta <= 0 對 H1：beta > 0，可以利用 t 檢定統計量進行，請：1. 先計算出 b 的標準誤；2. 再計算對應本資料的 t 統計量的數值；3. 最後判斷在 5%的顯著水準下，該迴歸線的斜率是否大於 0。（8 分）
思路引導 VIP
考點是迴歸斜率的顯著性檢定。
- 標準誤 $s_b$：公式為 $\sqrt{MSE / S_{xx}}$。
📜 參考法條
P(t > t_alpha(n)) = alpha : t_0.025(4) = 2.776, t_0.05(4) = 2.132