高考申論題
107年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
📖 題組：
如下圖之單位負迴授系統，其採用 PD 控制器，其中 $Jk_P^2 = 10^4 Kk_D^2$，當輸入 R(s)=1/s 時之位置穩態誤差（steady state error）$e_{ss} = 0.01$，試問：
(一)由位置穩態誤差求取 K 與 $k_P$ 間之關聯方程式。（5 分）
(二)繪製開迴路轉移函數 $G(s) = (k_P+k_Ds)/(Js^2+K)$之波德圖（Bode Diagram），標明所需標記之特徵的對應值，並註記 ω = 0 時之 dB 值。（10 分）
(三)當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取 $k_D$ 與 J、K 之關係。（5 分）
(四)當增益交越頻率 $\omega_g$（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取 J、K、$k_P$、$k_D$ 間之關聯方程式。（5 分）
如下圖之單位負迴授系統，其採用 PD 控制器，其中 $Jk_P^2 = 10^4 Kk_D^2$，當輸入 R(s)=1/s 時之位置穩態誤差（steady state error）$e_{ss} = 0.01$，試問：
(一)由位置穩態誤差求取 K 與 $k_P$ 間之關聯方程式。（5 分）
(二)繪製開迴路轉移函數 $G(s) = (k_P+k_Ds)/(Js^2+K)$之波德圖（Bode Diagram），標明所需標記之特徵的對應值，並註記 ω = 0 時之 dB 值。（10 分）
(三)當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取 $k_D$ 與 J、K 之關係。（5 分）
(四)當增益交越頻率 $\omega_g$（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取 J、K、$k_P$、$k_D$ 間之關聯方程式。（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取 $k_D$ 與 J、K 之關係。（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：閉迴路特性方程式與標準二階系統比對。
- 建立封閉迴路特性方程式：$1 + G(s) = 0 \Rightarrow Js^2 + k_D s + (K + k_P) = 0$。
小題 (一)
由位置穩態誤差求取 K 與 $k_P$ 間之關聯方程式。（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：穩態誤差與位置誤差係數 $K_p$。
- 公式應用：對於步階輸入 $R(s)=1/s$，穩態誤差 $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p}$，其中 $K_p = \lim_{s \to 0} G_{open}(s)$。
小題 (二)
繪製開迴路轉移函數 $G(s) = (k_P+k_Ds)/(Js^2+K)$之波德圖（Bode Diagram），標明所需標記之特徵的對應值，並註記 $\omega = 0$ 時之 dB 值。（10 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：頻域分析與 Bode Plot 繪製。
- 標準型轉換：將 $G(s)$ 寫成 $\frac{k_P(1 + \frac{k_D}{k_P}s)}{K(\frac{J}{K}s^2 + 1)}$。
小題 (四)
當增益交越頻率 $\omega_g$（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取 J、K、$k_P$、$k_D$ 間之關聯方程式。（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：Gain Crossover Frequency 的定義，即 $|G(j\omega_g)| = 1$（或 0 dB）。
- 單位轉換：$32 \text{ Hz} = 64\pi \text{ rad/sec}$。
PD控制與二階系統分析
💡 利用 PD 控制器參數調整閉迴路系統之阻尼比與穩態誤差規格。
🔗 PD 控制參數分析流程
- 1 規格轉換 — 由 e_ss = 0.01 導出系統增益關係 kP = 99K
- 2 特徵建模 — 列出閉迴路特性方程式 Js^2 + kD s + (K + kP) = 0
- 3 參數比對 — 與標準式比對，得 2ξωn = kD/J 且 ωn^2 = (K+kP)/J
- 4 解析關係 — 代入 ξ=0.7 與增益關係，解出 kD = 14√(JK)
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🔄 延伸學習：延伸學習：進一步結合波德圖分析系統的增益交越頻率與相位裕度。
