高考申論題
107年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
📖 題組：
如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system）， 其中 G(s) = s^3 / (s+p)^3，p > 0，試問： (一)利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分） (二)試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分） (三)當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system）， 其中 G(s) = s^3 / (s+p)^3，p > 0，試問： (一)利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分） (二)試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分） (三)當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：臨界穩定（Marginal Stability）下的等幅震盪。
- 物理意義：非零穩定輸出代表系統存在一對位於虛軸上的極點（$s=\pm j\omega$），此時輸出為簡弦波。
小題 (一)
利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：封閉迴路穩定性分析。
- 建立特性方程式（Characteristic Equation）：$1 + K G(s) = 0$。
小題 (二)
試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：根軌跡繪圖規則。
- 關鍵要素：開迴路極點（$s=-p$, 三重根）、開迴路零點（$s=0$, 三重根）、漸近線角度、離開角、虛軸交點（由(一)可知）。
臨界穩定與震盪頻率
💡 利用羅斯表臨界穩定狀態與輔助方程式，求取系統震盪頻率。
🔗 臨界穩定震盪頻率推導流程
- 1 特徵方程式 — 由 1+KG(s)=0 展開多項式
- 2 建構羅斯表 — 依多項式係數排列 Routh 表
- 3 求臨界增益 — 令 s^1 列為零，解出臨界增益 K
- 4 輔助方程式 — 由 s^1 之上方列係數建立 A(s)
- 5 解震盪頻率 — 令 A(s)=0 解出虛根 s=jω
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🔄 延伸學習：延伸學習：根軌跡圖與虛軸的交點座標即對應此頻率。
