高考申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制系統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 K / ((s^2+2s+2)(s+4))。
(一)欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（10 分）
(二)設定 K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之 K 值。（15 分）
考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制系統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 K / ((s^2+2s+2)(s+4))。
(一)欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（10 分）
(二)設定 K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之 K 值。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
設定 K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之 K 值。（15 分）
思路引導 VIP
繪製根軌跡圖需要依照既定步驟逐步計算：1. 找出開迴路極點與零點。2. 計算漸近線數量、角度與交會點（重心）。3. 判斷實數軸上的根軌跡範圍。4. 若有複數極點，需計算根軌跡離開角（Departure angle）。5. 計算根軌跡與虛數軸的交會點與對應的 K 值。將所有特徵點計算出後，標示於複數平面上並平滑連接。這題是控制工程必考的經典大題，步驟繁瑣但十分公式化。
小題 (一)
欲使此閉迴路控制系統穩定之 K 值範圍為何？（10 分）
思路引導 VIP
判斷閉迴路系統的穩定性範圍，標準作法是列出閉迴路特徵方程式 1 + G(s)H(s) = 0，然後使用勞斯-赫維茲準則（Routh-Hurwitz criterion）。建立 Routh 表後，確保第一行所有元素皆大於零，由此可解出 K 值的上下界。
根軌跡繪製與分析
💡 利用開迴路極零點分佈，繪製閉迴路極點隨增益 K 變動之軌跡。
🔗 根軌跡繪製標準作業流程
- 1 標示極零點 — 找出開迴路極點與零點，標記於 S 平面。
- 2 判斷實軸區間 — 右方實數極零點總數為奇數者即為根軌跡。
- 3 計算漸近線 — 計算支數、中心點與角度，引導軌跡趨向。
- 4 求取特殊點 — 計算離開角、分離點與虛軸交點（勞斯表）。
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🔄 延伸學習：延伸學習：從根軌跡分支趨向可進一步分析系統之阻尼比與自然頻率。
