高考申論題
106年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
考慮下列一閉迴路控制系統，假設 k 大於零。
(一)要求系統穩定時控制器 k 的條件為何？（10 分）
(二)畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的 k 值為何？（15 分）
圖形內容：前向路徑包含控制器 $k/(s+1)$ 與受控主體 $(s-2)/(s^2+6s+24)$，為一單位負回授系統。
考慮下列一閉迴路控制系統，假設 k 大於零。
(一)要求系統穩定時控制器 k 的條件為何？（10 分）
(二)畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的 k 值為何？（15 分）
圖形內容：前向路徑包含控制器 $k/(s+1)$ 與受控主體 $(s-2)/(s^2+6s+24)$，為一單位負回授系統。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的 k 值為何？（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗根軌跡的繪製與利用羅斯-霍維茲（Routh-Hurwitz）準則求虛軸交點。首先需由開迴路轉移函數找出極點與零點，並計算漸近線重心、角度及實數軸上的根軌跡分佈。接著列出閉迴路特徵方程式，代入 $s=j\omega$（或建構羅斯表）求得與虛軸的交點及對應的 $k$ 值。
小題 (一)
要求系統穩定時控制器 k 的條件為何？（10 分）
思路引導 VIP
判斷閉迴路系統穩定性，最直接的方法是先求出系統的特徵方程式。接著使用羅斯-赫維茲準則（Routh-Hurwitz Criterion）建立羅斯陣列，令第一行元素皆大於零，並配合題目已知 $k>0$ 的條件，求出交集即可得到 $k$ 的範圍。
根軌跡法分析與繪製
💡 藉由開迴路極零點分佈與繪圖法則，判定閉迴路系統穩定性與動態特性。
🔗 根軌跡繪圖標準作業程序 (SOP)
- 1 標註極零點 — 於 S 平面標出開迴路極點 (X) 與零點 (O)
- 2 確定實軸軌跡 — 由右向左算起，極零點總數為奇數的區間即存在軌跡
- 3 計算漸近線 — 求出重心與角度，決定軌跡趨向無窮大處的方向
- 4 求虛軸交點 — 令 $s=j\omega$ 代入特徵方程，求出臨界增益 $k$ 與頻率
- 5 完成軌跡繪圖 — 綜合出發角與分離點資訊，畫出完整分支走向
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步利用根軌跡觀察系統阻尼比與自然頻率隨 $k$ 值的變化。
