高考申論題
107年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system），
其中 G(s) = s^3 / (s+p)^3，p > 0，試問：
(一)利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分）
(二)試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分）
(三)當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system），
其中 G(s) = s^3 / (s+p)^3，p > 0，試問：
(一)利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分）
(二)試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分）
(三)當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
試繪製該系統對應不同比例增益 K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之特徵的對應值。（10 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：根軌跡繪圖規則。
- 關鍵要素：開迴路極點（$s=-p$, 三重根）、開迴路零點（$s=0$, 三重根）、漸近線角度、離開角、虛軸交點（由(一)可知）。
小題 (一)
利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：封閉迴路穩定性分析。
- 建立特性方程式（Characteristic Equation）：$1 + K G(s) = 0$。
小題 (三)
當 R(s) = 0 而 C(s)仍有非零穩定輸出時之 K 與 s = jω 中之 ω 為何？（7 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：臨界穩定（Marginal Stability）下的等幅震盪。
- 物理意義：非零穩定輸出代表系統存在一對位於虛軸上的極點（$s=\pm j\omega$），此時輸出為簡弦波。
根軌跡繪製與穩定性
💡 運用根軌跡法則分析極點隨增益變動之趨勢，並結合穩定準則判定邊界。
- 判別起訖點：軌跡始於開路極點 ($K=0$)，終於開路零點 ($K=\infty$)。
- 實軸軌跡判定：該點右方之實軸極點與零點總數為奇數者即存在軌跡。
- 虛軸交點求法：利用 Routh 準則輔助或令 $s=j\omega$ 求取臨界增益與頻率。
- 圖形對稱性：根軌跡必相對於實軸對稱，需標註轉折點與虛軸交點數值。
