高考申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
📖 題組：
對於一個單位負回授系統（negative unity feedback system），其開迴路轉移函數（open-loop transfer function）為 KG(s)，且 G(s) = (s^2 + s) / (s^2 + 7s + 12)，對於其閉迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points）的求解方程式為 dG(s)/ds = 0：
(一) 試證明該求解方程式為正確。（10 分）
(二) 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分）
(三) 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分）
(四) 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
對於一個單位負回授系統（negative unity feedback system），其開迴路轉移函數（open-loop transfer function）為 KG(s)，且 G(s) = (s^2 + s) / (s^2 + 7s + 12)，對於其閉迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points）的求解方程式為 dG(s)/ds = 0：
(一) 試證明該求解方程式為正確。（10 分）
(二) 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分）
(三) 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分）
(四) 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分）
思路引導 VIP
按照根軌跡八大規則繪圖：
- 標出極點（X）與零點（O）。
小題 (一)
試證明該求解方程式為正確。（10 分）
思路引導 VIP
從閉迴路特徵方程式 1 + KG(s) = 0 出發。將其表示為 K = -1/G(s)。根軌跡的分離或重合點代表在實軸上 K 值達到相對極大或極小（多重根處）。因此，利用微分求極值的觀念，對 K 關於 s 做微分並令其為 0。透過鏈鎖律推導，即可證明出 dG(s)/ds = 0 的結論。
小題 (二)
試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分）
思路引導 VIP
分別令分子與分母為零。分子 s^2 + s = 0 求解零點；分母 s^2 + 7s + 12 = 0 求解極點。這是基本的多項式因式分解。
小題 (四)
試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
思路引導 VIP
使用 (一) 證明的公式 dG(s)/ds = 0。運用商法則微分 G(s) = (s^2+s)/(s^2+7s+12)。令分子為零得到一個關於 s 的多項式，解出的 s 值中，位於實軸軌跡區間內的即為分離點與重合點。
根軌跡繪圖與分析
💡 藉由開迴路極零點分佈，繪製閉迴路極點隨增益K變化的路徑。
🔗 根軌跡標準繪圖步驟
- 1 分佈定位 — 找出開迴路極點(X)與零點(O)並標示於s平面。
- 2 實軸判定 — 由右至左檢查，通過奇數個點左側之區域即為軌跡。
- 3 求轉折點 — 利用 dG(s)/ds=0 找出分離點與重合點座標。
- 4 繪製形狀 — 依據 n-m 決定漸近線或閉合路徑，並標示K增加方向。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用 Routh 準則求出軌跡與虛軸的交點以確認系統穩定度範圍。
