高考申論題
105年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
下圖之單位負回授（unit negative feedback）系統中， G(s) = K / [s(s + 6)(s + 9)]。
下圖之單位負回授（unit negative feedback）系統中， G(s) = K / [s(s + 6)(s + 9)]。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
先計算出分離點、漸進線角度及其與實數軸之交叉點，再畫出此系統之根軌跡（Root Locus）圖。（10 分）
思路引導 VIP
本題為標準的根軌跡繪製題。解題關鍵在於依序找出極/零點分布以確定實軸上的軌跡區間，套用公式計算漸近線交點與角度，並利用 dK/ds = 0 求解分離點，最後務必確認求得的分離點是否落於實軸軌跡的有效區間內。
小題 (二)
以羅斯-赫維茲穩定性（Routh-Hurwitz stability）準則，計算可使此閉迴路系統穩定之增益 K 值的範圍，根軌跡在臨界穩定時與 jω 虛軸之交點，以及 K = 40 時之系統阻尼比與無阻尼自然頻率。（15 分）
思路引導 VIP
遇到此類經典控制系統考題，第一步必定是建立閉迴路特徵方程式（1 + G(s)H(s) = 0）。接著建立羅斯表（Routh Array），利用第一行元素皆大於零的條件求出 K 的穩定範圍；當第一行出現全零列時，代表系統處於臨界穩定，此時利用其上一列建立輔助方程式即可求得與 jω 軸的交點。最後代入指定的 K 值求根，若遇到三階系統可先尋找實數整數根進行降階，再對應標準二階形式求取阻尼比與自然頻率。
根軌跡作圖法則
💡 透過開迴路極零點，系統性繪製閉迴路極點隨增益K變動之軌跡。
🔗 根軌跡作圖標準程序
- 1 極零點標記 — 於s平面標記極點(X)與零點(O)，並劃定實軸軌跡區間。
- 2 漸近線參數 — 計算重心σA與角度θA，決定軌跡向無限遠處延伸的方向。
- 3 特徵量求解 — 計算分離點(Breakaway)與虛軸交點(與Routh準則結合)。
- 4 曲線繪製 — 由極點出發，經由分離點或依漸近線趨向零點或無限遠。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用根軌跡可快速判斷系統在不同K值下的阻尼比與響應特性。
