地特三等申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 五 題
畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，其中 K 值為正值。（20 分）
GH(s) = K / [s(s+1)(s+3)(s+4)]
GH(s) = K / [s(s+1)(s+3)(s+4)]
📝 此題為申論題
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遇到根軌跡繪製題，應依序求出開迴路極/零點、實數軸軌跡、漸近線交點與角度、分離點及虛數軸交點等五大特徵。本題開迴路極點分佈具有以 s=-2 為中心的對稱性，可利用此特性快速檢驗分離點與漸近線的計算結果是否合理。
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【解題思路】利用根軌跡繪製法則，逐步推導系統特徵方程式的極點分佈、漸近線、分離點與虛軸交點，以建構完整的根軌跡圖。 【詳解】 已知開迴路轉移函數 $GH(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+3)(s+4)}$，特徵方程式為 $1 + GH(s) = 0$，即 $s(s+1)(s+3)(s+4) + K = 0$。
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根軌跡繪製法則
💡 依據開迴路極零點，繪製閉迴路特徵根隨增益 K 變化的路徑。
🔗 根軌跡繪製標準 SOP
- 1 定位極零點 — 標註起點 (P) 與終點 (Z) 分布
- 2 劃定實軸區域 — 由右向左數，奇數區間為根軌跡
- 3 建立漸近線 — 計算中心點與角度引導遠端走向
- 4 計算臨界特徵 — 求分離點與虛軸交點確定幾何形狀
- 5 合成完整圖形 — 依據上述參數連線並標註 K 增加方向
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用根軌跡法進行系統靈敏度分析與控制器參數調整。
